Математика. Кто-нибудь может объяснить, что хотел сказать автор в этом предложении?

Только начинаете изучать матанализ? Привыкайте. Это даже назвали "язык эпсилон-дельта": по такому типу строятся многие определения, и вообще это "для любого ε>0 найдется такое δ>0, что..." вам теперь будет попадаться часто. Так что это не "автор хотел сказать",это общепринятая конструкция, наверное, со времен Коши. Если вам непонятно - ну, грубо говоря, все сие означает, что можно сделать f(x) сколь угодно близким к A,если подобрать х достаточно близким к х0.Тут х0 по смыслу не переменная - считается, что мы эту точку мысленно как-то зафиксировали, для этого и служит индекс 0.Эпсилон и дельта играют роль мер близости переменных величин к фиксированным, первая по оси ординат (у), вторая - по оси абсцисс (х): "сколь угодно близко" значит, что разность величин (по модулю, конечно, знак этой разности нас не интересует) может стать меньше любой заранее заданной, по смыслу - достаточно малой, величины. А почему написано δ(ε),а не просто δ? Это в смысле "зависит от ε": не всякая дельта годится для любого эпсилон. Хотя тут зависимость, конечно, вовсе не однозначная, это не обычная функциональная зависимость.

могу только утешить, что на этом ломаются большинство людей, кому математика недоступна. Хоть это и дается в самом начала матанализа, для восприятия это одно их самых сложных определений. Я знаю даже целого профессора - "дифурщика", который это не понимает.

может проблема в том, что для понимания надо совместить сразу 2 величины, для неравенства и условие "для... существует". Наступает переполнение оперативной памяти, у нас мозг может работать максимум с 5-ю объектами.

Автор хотел сказать и сказал определение предела функции в точке.

ну дык, берём в области значений любую ????-окрестность точки A.
если при этом в области определения найдется такая ????-окрестность точки x₀, образ которой умещается в выбранной ????-окрестности, то A будет пределом f(x) в точке x₀

ну или так: для любого ????-шарика вокруг А найдется ????-шарик вокруг x₀, который функция f отображает внутрь ????-шарика.

Для прояснения попробуйте представить себе обратную ситуацию (в которой определить предел не удаётся).

Чё хотел сказать - не знаю.

Но зачем-то по ошибке сказал, что точки устранимого разрыва не могут принадлежат области определения функции (

Автор подвбзднул и наврал, |x-x0|<δ надо б заменить на 0 < |x-x0| <δ, чтоб x выбирался из _проколотой_ дельта-окрестности x0.

А саму точку-то x0 из дельта-окрестности x0 все равно придется выколоть, даже если и не сейчас, так через год, когда придется учить матан "с нуля".

Существенно, что если вы переопределите функцию в одной лишь точке x0, на ее предел в точке x0 это никак не повлияет.

Я вам дам два других определения предела функции в точке, возможно, какое-то окажется понятнее. У автора используется определение предела по Коши, но в нем ошибка.

1) (по Гейне). Число A называется пределом функции f в точке x0, если для каждой последовательности { x_n }, сходящейся к x0, но не содержащей x0 в качестве элемента, последовательность соответствующих значений функции { f(x_n) } сходится к A.

2) (по Коши, но без выписывания eps-delta расстояний, т. н "окрестное" определение): число A называется пределом функции в точке x0, если для каждой окрестности точки A ее прообраз содержит хотя бы одну проколотую окрестность точки x0 в качестве подмножества.

Определения предела по Коши и Гейне эквиваленты как для обычных функций действительного переменного, так и для многих других.