Естественные науки

УРАВНЕНИЕ НЕ РЕШАЕТСЯ?

На тело единичной массы в направлении оси х действует постоянная сила 510 Н/кг. Сила сопротивления направлена противоположно и изменяется по закону 505/(1-х) (Н/кг). Чтобы установить закон движения, составил дифуравнение
d^x/dt^2= 510-505/(1-x) или d^x/dt^2+505/(1-x)-510= 0.
Такие уравнения решать не умею, поэтому ввёл его в программу "Вольфрам". Но она вроде не справилась. Может, я не умею обращаться с программой. Так или иначе, прошу вас помочь мне в этом вопросе.
Марина Гулакова
Марина Гулакова
71 523
Осуждаю подстановку чисел в таком виде)
Вообще можно попробовать его решить. Введу свои обозначения (просто мне так удобнее за размерностями следить):
x'' = f - a g / (a - x)
f, g - размерности ускорения
a - размерности расстояния
Воспользуемся тем, что уравнение симметрично относительно трансляции по времени (раз есть непрерывная симметрия. значит можно понизить порядок). Тогда можно представить, что x'(t) зависит от t через x(t), то есть:
x'(t) dx/dt = v(x(t))
Тогда вторая производная примет вид:
x''(t) = dv/dt = (dv/dx) (dx/dt) = v (dv/dx)
Подставляем в таком виде в уравнение:
v (dv/dx) = f - a g / (a - x)
Понизили порядок на один. Разделяем переменные:
v dv = [f - a g / (a - x)] dx
Интегрируем слева по v, справа по x:
0.5 v^2 = f x + a g ln(a - x) + C
(считаю 0 0 и v > 0. Можем однозначно выразить v:
v = sqrt[ 2 f x + 2 a g ln(1 - x/a) ]
(Однозначно в том смысле, что при извлечении корня понятно, какой знак надо взять). Возвращаемся к x(t):
dx/dt = sqrt[ 2 f x + 2 a g ln(1 - x/a) ]
Тут видно, что можно разделить переменные, и записать решение в квадратурах. Но интеграл взять такой в элементарных функциях вряд ли получится.
Все равно, мы нашли зависимость скорости от координаты, уже можно что-то поисследовать (найти время движение до остановки, координату остановки, максимальную скорость, и еще всякую подобную мерзость...).
Егор Леонов
Егор Леонов
69 727
Лучший ответ
Егор Леонов Тут прям просится посмотреть что будет в начале движения при x<<a.
При таком условии заменяем:
ln(1 - x/a) ≈ - x/a - 0.5 x^2 / a^2
(именно такая точность, потому что для квадратного трехчлена под корнем легко будет проинтегрировать). Уравнение примет вид:
dx/dt ≈ sqrt(2 f x - 2 g x - g x^2 / a)
Разделяем переменные:
dx / sqrt(2 f x - 2 g x - g x^2 / a) ≈ dt
Интегрируем:
sqrt(a/g) arccos{ [x + a(1 - f/g)] / [a(1 - f/g)] } ≈ t + A
Подставляем t=0, x=0, получаем:
A = 2 п k sqrt(g/a)
(Если выразить x(t), то от k зависеть ничего не будет, поэтому положим k=0)
Выразим x(t):
x ≈ (a/g) (f - g) {1 - cos( sqrt[g/a] t)}
И если сравнить с условием применимости:
x << a, то получим, что наше решение применимо при:
t << sqrt(a / g) arccos( [f - 2g] / [f - g])
Егор Леонов И я там при замене забыл слово "или":
x'(t) или dx/dt = v(x(t))
Егор Леонов Это вы захотели таким образом решить задачку с поршнем?)
Марина Гулакова По всей видимости вы приводите то, что именно мне нужно. Ибо мне достаточно знать, при каком значении х тело остановится, то есть имеет место равенство dx/dt= 0. Разберусь в ваших выкладках и в том, почему вы осуждаете подстановку чисел в таком виде. Спасибо.
Да, это связано с той задачей на сжатие газа.
Standard computation time exceeded...
Александр Козловъ
Александр Козловъ
43 324
Марина Гулакова То же самое я получил. Собственно говоря, мне необязательно найти явный вид функции х (t). Достаточно знать, при каком значении х тело остановится, то есть dx/dt становится равным нулю. Пока с этой задачей не справился..
нет
ВШ
Владик Шпортко
21 298

Похожие вопросы