Вопрос про вероятности

Как это....
Надо бы сперва понять, как он вообще работает, генератор ваш.

Пусть у вас получилось сгенерировать им равномерное дискретное распределение на N (предположим, что такое существует).
Вероятность того, что ваш генереатор выплюнет наперед заданное число n за один шаг, равна нулю. Суммируем ряд по всем натуральным n, получаем ноль вместо единицы. С суммами таких рядов вы в школе сталкивались - последовательность из нулей ведь является геометрической прогрессией.
Сигма-аддитивную вероятностную меру на N вы никак не получите, а над конечно-аддитивной и голову не стоит ломать, пока не припрёт.

Припереть может, например, если вас просят формализовать понятие вероятности того, что два случайно взятых натуральных числа взаимно просты. В этом случае разумно рассмотреть последовательность равномерных дискретных распределений на вложенных (каждый в следующий) отрезках и предел последовательности соответствующих вероятностей.

Возможно, в конкретное число (например, триллион) раз. Я читал о том, что если вместо цифр генерировать случайно буквы латинского алфавита, когда-нибудь генератор выдаст полное собрание сочинений Шекспира.

а это всё зависит от того, как именно работает генератор.
может, он марковский, и генерирует последовательность x1 < x2 < x3 <...
тогда облом.

а если он генерирует стационарные последовательности, то:
P{1} + P{2} + .= 1
и вероятность получения двух одинаковых чисел ненулевая.

вероятность получения ряда из одинаковых чисел, такая же как и получение ряда из любого другого заданного набора чисел,

такая вероятность есть. но практического значения не имеет.