Это синоним слову "свободный вектор", как его чаще всего называют. Это такой вектор, который можно переносить параллельно самому себе так, что его начало теперь совпадает с другой, заранее выбранной точкой на плоскости или в пространстве. В любом случае, получается вектор, равный данному (как следствие из определения). Так вот свободными или плавающими векторами, называются такие, что два равных между собой вектора считается как один и тот же вектор.
В математике (в частности, в аналитической геометрии) векторы считаются свободными. В физике это, вообще говоря, не так. И там два равных между собою (по модулю и направлению) вектора являются, как правило, разными векторами).
Бывают ещё скользящие векторы (помимо свободных и несвободных) - это те, которые можно перемещать вдоль одной прямой, и полученный таким образом вектор, равный исходному, считается таким же. Распространены, к примеру, в теоретической и технической механике.
Так вот, в любом случае, при перемещении вектора параллельно самому себе, координаты начала и конца, конечно, изменяются. Но не изменяются разности соответствующих координат. То есть., если даны две точки A (x1; y1) и B (x2; y2), то если вектор AB параллельно перенести так, что его начало окажется в точке С (x3; y3), а конец - в точке D (x4; y4), то координаты точки D, в отличие от точки С, уже не будут произвольными. Они такие, что верны равенства:
x2 - x1 = x4 - x3;
y2 - y1 = y4 - y3,
Поскольку при том, что координаты начала и конца изменяются, разности соответствующих координат не меняются, и потому именно эти разности и называются началом и концом вектора. То есть, при "перемещении вектора в сторону" его координаты как раз не меняются.
При параллельном переносе вектора модуль вектора и его направление не меняются. Не меняются и координаты вектора (как разности координат конца и начала). Меняются лишь координаты начала вектора произвольным, либо заданным образом (в таких случаях говорят, что вектор откладывается от заданного начала), а тогда координаты конца вектора определяются уже вполне конкретным образом: если отложить вектор с координатами (a; b) от точки (x0; y0), то координаты конца вектора будут (xo + a; y0 + b).
А вот то, что при домножении координат вектора на одно и то же число ничего не меняется - неверно. Не меняется лишь то, что новый вектор остаётся при этом параллелен (коллинеарен) старому, а длина вектора (модуль) меняется, причём ровно в такое же число раз (сам вектор при этом также умножается на это число). При этом при домножении на положительное число не меняется и направление вектора, а при домножении на отрицательное - меняется строго на противоположное.
