Зачем в квадратных неравенствах уравнения приравнивают к нулю?

Этот не какой-то особый метод для квадратичных неравенств, он общий. При решении неравенства вы обычно хотите узнать область, где f(x) > 0 или f(x) < 0. Для того, чтобы сменить знак, непрерывная функая должна пройти через 0. Поэтому вы ищите точки: f(x) = 0.

Чтобы искать, в каких точках график будет пересекаться именно с нулем. Нужна другая высота - добавь соответствующее слагаемое.

Это просто математический прием, позволяющий (не) найти точки пересечения параболы с нулем и на основании этого и первого коэффициента сделать вывод о пределах (не) верности неравенства.

Чтобы найти корни... Корни дадут нам крайние точки. До точки первого корня и после точки второго корня неравенство будет выполняться. Тогда мы сможем записать ответ типа: "от минус бесконечности до первого корня и от второго корня до плюс бесконечности"...

При положительном коэффициенте a у графика функции рога вверх, при отрицательном - рога вниз. В первом случае решение будет x< x1, x > x2. Во втором - x1 < x < x2.
Нарисуй, раз запутался!

Вам надо найти значения аргумента, где выражение меняет знак. Смена знака происходит вблизи нуля (тут ещё непрерывность, о чём вы, возможно, потом узнаете).
Один из способов - найти нули и пошарит поблизости.
Можете придумать и свой способ (и тут же публикуйтесь, если получится!), а пока не придумали, пользуйтесь тем, что умные люди придумали 2,5-3 тыс лет тому назад.

Приравнивание к нулю - это приём для разложения левой части неравенства на множители. После разложения неравенство "восстанавливается", как было.

Это многочлен классический.. неравенство... решить значит найти множество его решений...

Решение неравенств - это нахождение совокупности значений переменной, как правило имеющих вид интервалов, отрезков и т. п. на числовой прямой. Чтобы описать какой-то интервал или отрезок, нам нужно знать его крайние точки, и тогда мы сможем записать ответ. Эти искомые точки находятся между такими, в которых неравенство ещё выполняется, и с другой стороны такими, в которых оно уже не выполняется. То есть где-то между f(x)>0 и f(x)<0. Ну а вам должно быть уже известно, что между отрицательными и положительными числами всегда стоит ноль. Вот и ищут корни f(x)=0.

Грустный пример: представьте, что вы изготавливаете надгробия. Вам сказали написать на нем срок жизни покойника. Чтобы это сделать, вам нужно знать, во-первых, его дату рождения, а во-вторых - дату смерти. Две даты - это единственное, что вам надо узнать для выполнения задания, и вас совершенно не должны интересовать дата его свадьбы или рождения внуков. Ну а рождение и смерть - это на деле просто точки между жизнью и смертью, бытием и не-бытием...

Это делается для того, чтобы найти точки пересечения параболы с осью Оx. В дальнейшем это позволяет определить истинные значения x

Вы найдёте иксы при которых выражение будет больше нуля. В чём проблема?