Прочее образование

Математика. Теория вероятностей. Пожалуйста с подробным решением.

  1. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,002. Найти вероятность того, что в 500 испытаниях событие появится хотя бы один раз.
  2. Ответ: P ≈ 0,632 .
  3. Сделано 1000 независимых испытаний с вероятностью наступления события A в
  4. отдельном испытании 0,01. Найти пределы, в которых с вероятностью 0,99 укладывается относительная частота наступления события A.
  5. Ответ: 0,0019
Ольга Корнеева
Ольга Корнеева
526
1, Для решения таких задач можно использовать формулу Бернулли:

P_n(k) = C_nk * p^k * (1 - p)^(n-k)

где P_n(k) - это вероятность того, что в n испытаниях событие появится ровно k раз, C_nk - это число сочетаний из n по k, p - это вероятность события в одном испытании2.

В вашем случае n = 500, p = 0.002 и мы хотим найти вероятность того, что событие появится хотя бы один раз. Это означает, что мы ищем P_500(k >= 1). По формуле Бернулли это равно:

P_500(k >= 1) = P_500(1) + P_500(2) + ... + P_500(500)

Однако вычислять такую сумму довольно сложно. Поэтому мы можем использовать следующий трюк: заметим, что либо событие появится хотя бы один раз, либо оно не появится ни разу. Эти два случая являются противоположными и исчерпывают все возможности. Поэтому их вероятности в сумме дают единицу:

P_500(k >= 1) + P_500(0) = 1

Отсюда мы можем выразить искомую вероятность:

P_500(k >= 1) = 1 - P_500(0)

Теперь нам нужно только найти вероятность того, что событие не появится ни разу. Это равно:

P_500(0) = C_5000 * 0.002^0 * (1 - 0.002)^500 P_500(0) = 1 * 1 * 0.368 P_500(0) ≈ 0.368

Подставляя это значение в предыдущее выражение, получаем:

P_500(k >= 1) ≈ 1 - 0.368 P_500(k >= 1) ≈ 0.632

Ответ: вероятность того, что в 500 испытаниях событие появится хотя бы один раз приблизительно равна 0.632.
ЯХ
Янчик) Хванчик)
1 941
Лучший ответ
Янчик) Хванчик) 3, вам нужно найти число испытаний n, при котором с заданной вероятностью P(|f - p| < ε) можно ожидать малое отклонение относительной частоты f от вероятности p1. Для решения таких задач можно использовать ту же формулу Лапласа:
P(|f - p| < ε) ≈ 2φ(ε√n/p(1 - p))
В вашем случае p = 0.02, ε = 0.005 и P(|f - p| < ε) = 0.995. По формуле Лапласа это равно:
0.995 ≈ 2φ(0.005√n/0.02(1 - 0.02)) 0.995/2 ≈ φ(0.1118√n) 0.4975 ≈ φ(0.1118√n)
Для нахождения n нам нужно использовать таблицу значений функции Лапласа или калькулятор2. Из таблицы мы видим, что ближайшее значение к 0.4975 соответствует x = 2.81 (точное значение x ≈ 2.807). Поэтому мы приближенно получаем:
0.1118√n ≈ 2.81 √n ≈ 2.81/0.1118 √n ≈ 25.13 n ≈ (25.13)^2 n ≈ 631
Ответ: необходимо проверить приблизительно 631 изделие.
p = 0.002, n = 500, np = 1
P(0) = (1⁰/0!)(1/e¹) ≈ 0.3679
P(≥1) = 1 - P(0) ≈ 0.6321

Ответ: 0.6321

Воспользуемся правилом трёх сигм. (В пределах трёх сигм от мат.ожидания укладывается 99.73% данных)
n = 1000, p = 0.01, q = 0.99
M = np = 10,
D = npq = 9.9
Сигма = √D ≈ 3.146
3√D ≈ 9.44
(M - 3√D)/1000 ≈ 0.00056
(M + 3√D)/1000 ≈ 0.01944

Ответ 0.01±0.00944

Среди продукции, изготовленной на определенном станке, брак составляет 2%. Сколько изделий необходимо проверить, чтобы с вероятностью 0,995 можно было ожидать, что относительная частота бракованных изделий среди них отличается от 0,02 по абсолютной величине не больше чем на 0,005?
Ответ: 614656.

p = 0.02, q = 0.98,
n = ?
M = np
√D = √(npq)

(M + 3√D)/n = p + 0.005
M/n + 3√D/n = p + 0.005
np/n + 3√pq/√n = p + 0.005
p + 3√pq/√n = p + 0.005
n = 9*pq/(0.005)² = 9*0.0196*10⁶/25 = 7056

Ответ: 7056
РЖ
Раушан Жуматаева
79 667

Похожие вопросы