Задача по алгебре

У Михаила ошибка в утверждении все из нерассмотренных чисел представимы в виде n=pq, где p≥3, q≥3.

1.n=p^k, p - простое
1.1.k >=3, p > =3, Индукция по k. k=3
p < 2p <…< p^2 < (p+1)*p < (p+2)* p < p^3-1
(p^3-1) кратно p(1+1+2+1+1)=p^6.
Пусть (p^k-1)! кратно p^(2k).
В (p^(k+1)-1)! добавится по крайней мере множитель p^k, кратно p^(2k+k), кратно p^(2(k+1).

1.2.k =2, p > =5, n=p^2.
p < 2p < 3p < … < (p-1)*p < p^2 -1
(p^2-1)! кратно p^4.
1.3. p =2, k >=4, индукция по k. k=4.
2 < 2*2 < 2*2 +2 < 2^3 < 2^3+2 < 2^4-1
(2^4-1) кратно 2^(1+2+1+3+1)=2^8
Индукционный шаг аналогичен 1.1.
1.4.Проверяя k=2, p=3,2 и k=3, p=2 (n=4, 9, 8), получаем не кратно.
1.5.k=1, среди чисел, меньших p, нет кратных p, не делится.

2.n= 2*p^k, p >=3. В случаях 2.1. k >=3, p > =3 и 2.2. k =2, p > =5 имеем 2*p^k > p^k.
Кратно p^2k, кроме того, среди множителей есть хотя бы 2 четных, кратно 2^2*p^2k=n^2.
2.3 – такого нет.
2.4. Проверяя k=2, p=3, (n=18), получаем кратно.
2.5. k=1, n=2p, до 2p-1 только одно, кратное p, не делится.

3.n=a*p^k, a и p взаимно простые, a >=3, p >=3. n=a*b, b >=3, a и b взаимно простые.
a < 2a < ab-1, (ab-1)! кратно a^2, аналогично b^2, кратно n^2.

Ответ p, 2p, 8, 9, p - простое.

Очевидно, что (n–1)! не делится даже на n, когда n — простое. Не делится на n² при n = 2p, где p — простое, поскольку среди чисел 1, 2, …, n–1 только одно (p) делится на p, поэтому (n–1)! делится на p, но не делится на p².

Во всех остальных случаях (n–1)! делится на n². Пусть n=pq, где p≥3, q≥3 — взаимно простые числа, причём q нечётно (в таком виде можно представить любое из нерассмотренных чисел) . Тогда среди чисел 1, 2, …, n–1 имеется по крайней два, делящихся на p (например, p и 2p), и два, делящихся на q (q и 2q). Очевидно, p≠q, 2p≠2q. Числа 2p и q не могут совпасть, поскольку они разной чётности. Если совпадают числа p и 2q, то 4q=2p≤n–1 и в факториале заведомо имеется множитель 3q. В любом случае в (n–1)! делится на p²q².

нуль