Помогите доказать тригонометрическое неравенство!

1) Обозначим t=tg t, тогда неравенство запишется в виде |t+1/t|>=2.

Возводим в квадрат (обе части положительны, поэтому это равносильное преобразование) :

t^2+2+1/t^2>=4, t^4+2t^2+1>=4t^2, t^4-2t^2+1>=0, (t^2-1)^2>=0, а это верно при любом t.

2) Посчитаем сумму квадраттов: 3^2+12^2=153 и поделим обе части неравенства на число В=koren(153):

3/B sin x+12/B cos x<=13/B.

Введём вспомогательный угол A такой что: cos A=3/B, sin A=12/B, отсюда tg A=12/3=4, или A=arctg3.

Как известно, sin(x+A)=cos A sin x+sin A cos x, здесь:

3/B sin x+12/B cos x<=sin(x+A), А=arctg3.

Итак, надо доказать, что |sin(x+A)|<=13/koren(153), но это верно, потому что |sin Z |<=1 для любого Z.

1) tgx+ctgx=sinx/cosx+cosx/sinx=((sinx)^2+(cosx)^2)/sinxcosx=1/(sin2x/2)=2/sin2x Т. к. }sin2x{ <=1, то2/sin2x>=2 2) 12sqrt(1-(sinx)^2)<=13-3sinx, 144-144(sinx)^2<=169-78sinx+9(sinx)^2, заменим y=sin[-> 144-144y^2<=169-78y+9y^2, 153y^2-78y+25>=0, D=6084-15300<0->153e^2-78y+25>=0, что и тр. док.

1) tg(x)+ctg(x) = sin(x)/cos(x) + cos(x) / sin(x) =
= ( sin^2(x)+cos^2(x) ) / (sin(x)*cos(x)) =
= 1 / (sin(x)*cos(x)) = 2 / (2*sin(x)*cos(x)) =
= 2 / sin(2x)

так как |sin(2x) | <=1, то | 2 / sin(2x) | >= 2, поэтому
| tg(x) + ctg(x) | >= 2

2) |3sinx+12cosx| <= 13, для всех х

Обозначим А=корень из 153. Тогда (3/А) ^2+(12/A)^2=1,
а это означает, что найдется угол z такой, что cos(z)=3/A, sin(z)=12/A.
Подставим в формулу:
3sinx+12cosx = A*cos(z)*sin(x) + A*sin(z)*cos(x) = A*sin(x+z)
Так как |sin(x+z) | <=1, то | A*sin(x+z)| <= A, то есть
|3sinx+12cosx| <=A
осталось доказать, что А меньше 13. Если возвести в квадрат, то получим A^2=153, 13^2=169, значит A^2 меньше 13^2, значит A меньше 13.
В итоге получаем |3sinx+12cosx| <=13