Неравенства с модулем. Подскажите. как они решаются. Можно на примере |2x-1|-|x-2|>=4

Модуль всегда надо раскрывать, а для этого надо определить критические точки

2х-1=0
2х=1
х=1/2

х-2>=0
x=2

Итак, две критические точки, которые разбивают числовую прямую на три области

_________1/2_________________2______________

На каждой области надо решить отдельно.

1. (-бесконечность, 1/2)
2х-1<0
|2х-1|=-2х+1

х-2<0
|х-2|=-х+2

-2х+1-(-х+2)>=4
-2х+1+х-2>=4
-х>=5
х<=-5

Это решение (-бесконечность, -5) входит в наш интервал, значит является решением неравенства.

2. [1/2; 2)
2х-1>=0
|2х-1|=2х-1

х-2<0
|х-2|=-х+2

2х-1-(-х+2)>=4
2х-1+х-2>=4
3х>=7
х>=7/3

Это решение не входит в интервал [1/2; 2), поэтому решением не является.

3. [2; +бесконечность)
2х-1>=0
|2х-1|=2х-1

х-2>=0
|х-2|=х-2

2х-1-(х-2)>=4
2х-1-х+2>=4
х>=3

Данное решение входит в рассматриваемый интервал, поэтому является решение неравенства.

Итак, ответ: х<=-5 или х>=3

По сути методом интервалов. Находишь критические точки при котором выражение под модулем меняет знак и рассматриваешь каждый случай отдельно. Решением является совокупность решения всех случаев
Например, здесь рассматривайте вначале случай когда x <= 1/2 . Модуль раскрывается так
-2x + 1 - ( -x + 2 ) >= 4
Решает данное неравенство и отбирает корни ТОЛЬКО удовлетворяющие условию x <= 1/2
Следующий промежуток будет x >= 1/2 и x<=2 ( т. е. система ) модули раскрываются так
2x - 1 - ( -x + 2 ) >= 4
Решаете, отбираете корни согласно условию x >= 1/2 и x<=2
И наконец самый последний и простейший случай, когда x>=2
2x - 1 - x + 2 >= 4
Также решаете и отбираете корни x >= 2
Решением всего уравнения будет объединение ( но не пересечение ) множеств всех ваших решений