Найти площадь трапеции. Знайти площу трапеції

У меня тоже 522 получилось. Но задача совсем неэлементарная. Лови решение.
➽ Точка пересечения биссектрис острых углов при большем основании трапеции принадлежит ее меньшему основанию. Найдите площадь трапеции если ее боковые стороны равняются 13 см и 20 см, а высота - 12 см.



Известно:  АА₁= 20;  DD₁= 13;  ВВ₁= 12

➽ Опускаешь из точек А₁ и D₁ перпендикуляры на большее основание AD. Получаешь два прямоугольных треугольника САА₁ и ЕDD₁. Длины отрезков АС и ЕD находишь по т. Пифагора: АС=16 и ЕD=5

➽ Площадь трапеции DАА₁D₁ определится по обычной формуле:
S = (A₁D₁+ AD) * (BB₁/ 2) = [A₁D₁ + (16 + 5) / 2] * BB₁=
= [A₁D₁ + 10,5] * 12 = 12*A₁D₁+ 126  ❶

➽ Дальше пойдет сплошная морока. Надо найти A₁D₁= A₁В₁+ В₁D₁.
Обозначаем ОA₁= a, ОВ₁= b и A₁В₁= с. Из треугольников ОA₁B₁и ОАВ пишем теорему Фалеса: а / b = 20 / 12  ❷
Еще пишем т. Пифагора: а² = b² + c²  ❸
Используем теорему: Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Теорему можно посмотреть тут:
http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/bisector.htm
Значит, рассматривая биссектрису АВ₁ в треугольнике ОАВ, получаем по этой теореме:
(а + 20) / b = (c + 16) / 12  ❹

➽ Ежу понятно, что надо решать систему уравнений ❷, ❸ и ❹. Решаешь и получаешь: с = A₁В₁= 20

➽ Теперь рассматриваешь правую половину рисунка, там треугольник О₁ВD. Точно так же составляешь три уравнения с тремя неизвестными и находишь В₁D₁= 13

➽ Под конец находишь A₁D₁= A₁В₁+ В₁D₁= 20 + 13 = 33 и подставляешь в формулу ❶.

Меньшее основание трапеции найти несложно. Биссектрисы отсекают от трапеции равнобедренные треугольники, а точка пересечения биссектрис лежит на меньшем основании. Отсюда меньшее основание равно сумме боковых сторон.
Пользуясь чертежом, данным в ЛО :
АА1 = А1В1 = 20
DD1 = В1D1 = 13
А1D1 = А1В1 + В1D1 = 20+13 = 33
Из треугольника АА1С по т-ме Пифагора:
АС = sqrt(АА1^2 - А1С^2) =
sqrt(20^2 - 12^2) = 16
Из треугольника D1DE :
ED = sqrt(D1D^2 - D1E^2) =
sqrt(13^2 - 12^2) = 5
Тогда большее основание:
АD = АС + СЕ + ЕD =
АС + А1D1 + ЕD =
16+33+5 = 54
Средняя линия:
(54+33)/2 = 87/2 = 43,5
Площадь:
S = 43,5*h = 43,5*12 = 522
Р. S. Хотела добавить в комментах, жаль, что в этом вопросе они не предусмотрены.

Думай сам, ни на кого не надейся!

Нет 522