почему х^2+3x^2=4x^2 то есть можно здесь их складывать , потому что оба Х^2 А cosx+cos3x не равно cos4x? спасибо

Термин подобие здесь вообще не применим

Есть операции, функции и их свойства

Для операций умножения и сложения есть такое свойство
a*c + b*c = (a+b)*c
Если его применить, получится
x^2 + 3*x^2 = 1*x^2 + 3*x^2 = (1+3)*x^2 = 4*x^2
Здесь мы не использовали ничего, что касалось бы непосредственно функции x^2, поэтому это свойство применимо и к другим функциям, например cos x
cos x + 3*cos x = 4*cos x

Для функции x^2 мы можем раскрыть и выражение вида
x^2 + (3*x)^2 =1* x^2 + 3^2*x^2=(1+3^2)*x^2 = 10*x^2
Однако при этом мы воспользовались свойством функции x^2:
(a*x)^2 = a^2*x^2
Для функции cos x такого свойства при произвольном a _нет_, однако есть другое свойство, которое позволяет преобразовать выражение cos x + cos 3x
cos a + cos b = 2 cos ((a+b)/2) cos((b-a)/2)
cos x + cos 3x = 2 cos ((x+3x)/2) cos((3x-x)/2) = 2 cos 2x cos x
Если воспользоваться ещё одним свойством синуса и косинуса:
2 cos x sin x = sin 2x, можно преобразовать это выражение к синусам
2 cos 2x cos x sin x / sin x = cos 2x sin 2x / sin x = 2 cos2x sin2x / (2 sin x) =
= sin 4x / (2 sin x)

Да, cosx+cos3x не равно cos4x, а в чем проблема? Функция косинус не имеет такого свойства. НО cosx+3 cosx =4 cosx

Множитель стоит внутри функции перед аргументом. В то время как в случае с x^2 множитель стоит перед самой функцией.
Поэтому складывать непрямую нельзя!

Нет, конечно - достаточно взглянуть на график ф-ции cosX и cos3x - у них одинаковая высота (амплитуда) , но у cos3x в 3 раза чаще горбы - т. е. частота.
У cos4x - горбы в 4 раза чаще, чем у cosX.

Если сложить cosX+cos3x - будет как бы крупная рябь на мелких волнах - примерно такой вид.

Слагаемые не подобны - cosX не равно (cos3x)/3.