почему х^2+3x^2=4x^2 то есть можно здесь их складывать , потому что оба Х^2 А cosx+cos3x не равно cos4x?

Надя, просто вспомните, что значит подобные слагаемые.
По простому говоря, подобные слагаемые - это такие слагаемые, которые отличаются
ТОЛЬКО КОЭФФИЦИЕНТОМ и имеют одинаковую буквенную часть.
Например, 5х и 1,2х - это подобные слагаемые
4x^2 и 16x^2 - это подобные слагаемые
10x^5 и -8x^5 - это подобные слагаемые
6cos x и 12cos x - это подобные слагаемые
4lg x 15lg x - это подобные слагаемые
-0,7cos 5x и 3cos 5x - это подобные слагаемые

А cos x и cos 3x - ?Это подобные слагаемые ?
Конечно НЕТ! Ведь у них различна буквенная часть.

А например, 4sin 2x и 5sin 6x - это подобные слагаемые или нет ?
Правильно: нет !

Поэтому x^2 + 3x^2 = 4x^2 ( чтобы сложить подобные слагаемые мы складываем их коэффициенты и пишем общую буквенную часть)
А cos x + cos 3x не равно cos 4x (ведь они не подобные слагаемые)

Поскольку косинус есть гиперболический косинус от
мнимого аргумента. А гиперболический косинус, есть
полусумма двух геометрических прогрессий, то выражение:
cosx+cos3x=cos4x равносильно выражению:
e^x+e^3x=e^4x или еще более явственней:
2+2^3=2^4.
Однако законы связывающие числа в
геометрических прогрессиях, хотя и сохраняют
подобие, но НЕРАВНЫ законам связывающие
числа в арифметических прогрессиях.
Поэтому сумма cosx+cos3x не равна cos4x
Замечу впрочем, что поскольку мы употребили
мнимые числа, а те в свою очередь имеют
свойство вращения, то есть частные случаи
при которых сумма cosx+cos3x все таки
равна cos4x:

Косинус как я уже тогда объяснял - это функция cos(x) + cos(x) = 2cos(x) - это подобные, все понятно ...

но cos(x) + cos(2x) не равно cos(3x)

cos(x) + cos(2x) = cos(x) + cos^2(x)- sin^2(x)
cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

То есть значения аргументов разные.

Ключевое в "cos от 3x" - "cos", а не само "3x"...грубо говоря.

Доказать это можно по формуле косинуса суммы.

Можно ли сложить x ^2 и x^8 и получить x^10? Ну и плевать, что это разные степенные функции, ведь и там и там "x" !!!-из этой же серии вопрос.. . :) <----Одна моя бывшая одноклассница-блондинка думала, что можно.

Потому что функция взятия косинуса нелинейная - то есть косинус суммы не равен сумме косинусов соответствующих аргументов. То есть принцип суперпозиции здесь, как и при взятии других нелинейных функций, не выполняется.
И слагаемые в первом случае подобные, а во втором - нет. Вот если бы было - cos(x)+3cos(x), тогда сумма была бы равна 4cos(x).