Стоит ли кому-то что-то доказывать?

О, милейший! Замечательный вопрос! Отвечу опираясь на собственный опыт. Мне очень часто приходиться сталкиваться с полемикой, при чем очень агрессивной.
Так уж сложилось, что мои взгляды отличаются от большинства окружающих меня людей: я вегетарианка, у меня иная ветвь религии, другая национальность, иные политические взгляды и пр. .
Будучи более юной, я наивно полагая, что мое мнение важно оппоненту, аргументировано отстаивала свою точку зрения. НО! потом поняла, что люди туги к пониманию чужой мысли, а лишь пристрастны к своей.
Поэтому, сейчас максимум на что я согласна-это на разумную дискуссию, цель которой поиск истины, а не отстаивание своей точки зрения. В остальных случаях я либо отмалчиваюсь, либо меняю тему.
И на хамство хамством не отвечаю, полагая, что если человек опускается до хамства, то он уже глубоко несчастен, и не заслуживает беседы со мной.
И не подумайте, что я цинична. Просто я проделываю каждый день огромную работу над самодисциплиной, стремлюсь к саморазвитию, и мне смешны люди, которые не зная, что такое самодисциплина, пытаются меня учить.

Только себе.

Нет! Все в конце концов становится на свои места.

Думаю, стоит осознать, что слова не будут являться доказательством.
Значит, вы не доказываете, а делаете нечто совсем другое.. . с таким же успехом можно заменить это действие на любое другое приятное вам - хотя бы кто-то будет в выигрыше.

Отличный выход находят в этом случае женщины - они превращают все в милую шутку или сочувствие. Не замечали, как женщина, даже сильно накосячив, может обнять даже незнакомого человека, улыбнуться и сказать "Бедненький вы мой"
Вот это и есть замещение реакции на положительную.

Конечно надо.

думаю, что нет. это будет больше похоже на оправдание.
если ведется конструктивный спор по всем правилам, и Ваш собеседник адекватен, тогда да, доказывая что-то, Вы подкрепляете свои доводы вескими аргументами.
в бытовых ситуациях, кроме конфликта и раздражения, путем доказывания чего-то другого добиться трудно.

Каждый воспринимает лишь тот ответ, который он знает...

в процессе бессмысленного (чаще всего) спора вы оба получите только геморрой и потеряете нервы, а кто выиграл или проиграл спор забудется буквально очень скоро и от этого будет наплевать, остальные проблемы которые нужно решать, никуда не уйдут, лучше развиваться, чем подвергаться полемике, это удел политиков и блоггеров, которые этим зарабатывают себе на хлеб.