задача по геометрии, не сложная, но не могу догнать, откуда думать

Отложим на продолжении основания АВ отрезок ВЕ, равный противоположному основанию.
CE = DB - по построению, как стороны параллелограмма BECD.
Очевидно, что закрашенные треугольники имеют равную площадь: у них равны основания и общая высота, равная высоте трапеции. Значит площадь трапеции AВСD равна площади треугольника АЕС.
Эту площадь можно найти по формуле Герона
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)], где a, b, c -стороны треугольника, а p - его полупериметр.

p = (9 + 12 + 15)/2 = 18.
S = √[18(18 - 9)(18 - 12)(18 - 15)] = √[18 * 9 * 6 * 3] = 54 cм².

1. Нарисуйте трапецию ABCD, проведите диоганали AC=9 см и BD=12 см, из углов В и С опустите высоты на основание AD, соответственно BK и CL, KL=BC=4 cм. Обозначим AK=a и LD=b,
2. Рассмотрим треугольник ACL. Это прямоугольный треугольник, у которого угол ACL=90 град. АС - гипотенуза данного треугольника.
По теореме Пифагора CL^(2) =AC^(2)-AL^(2),
но AL=11-LD=11-b, подставим это значение в уравнение и
получим CL^(2) =AC^(2)-(11-b)^(2)=9^(2) - ((121-22b+b^(2)) = 81-121+22b-b^(2)
3. Рассмотрим треугольник KBD. Это прямоугольный треугольник,
у которого угол BKD = 90 градусов. BD - гипотенуза данного треугольника.
По теореме Пифагора BK^(2)=BD^(2)-KD^(2)
но KD=11-AK=11-a, подставим это значение в уравнение и
получим BK^(2)=BD^(2)-((11-a)^(2))=12^(2)-((121-22a+a^(2))=144-121+22a-a^(2)
4. Запишем уравнения в виде системы и вычтем из первого уравнения второе почленно
BK^(2)=144-121+22a-a^(2)
CL^(2)=81-121+22b-b^(2)
-----------------------------------------
BK^(2)-CL^(2)=63+22а-22b-a^(2)+b^(2)
Но BK=CL, следовательно левая часть уравнения=0
0=63+22(a-b)-((a^(2)-b^(2))
0=63+22(a-b)-(a-b)(a+b)
0=63+(a-b)((22-(a+b)), но a+b=AD-BC=11-4=7 cм
0=63+(a-b)(22-7)=63+15a-15b
15b-15a=63
b=(63+15a)/15=4,2+a
Но нам известно, что AD=AK+KL+LD=a+4+4,2+a
11=2a+8,2
a=1,4 cм
b=4,2+1,4=5,6 см
Откуда получаем значение высоты трапеции BK=((BD^(2)-(KL+LD)^(2))^(0,5)=
=((12^(2)-(4+5,6)^(2))^(0,5)=(144-92,16)^(0,5)=51,84^(0,5)=7,2 см
Площадь трапеции = (AD+BC)/2*BK=(4+11)/2*7,2=7,5*7,2=54 см2

Надеюсь, что Вам понятно, что по исходным данным трапеция строится однозначно.
Осталось придумать способ её построить. рекомендую оригинальный способ.
Каждую сторону выразить как вектор с известными или неизвестными составляющими проекциями на оси х и у.
Обратите внимание, что векторы оснований полностью известны, они горизонтальны. А диагонали известны только по длине.
Надо составить систему уравнений, описывающих каждый вектор, и в неё включить сумму векторов.
Замкните цепь векторов, то есть сложите их последовательно по восьмёрке, и сумма будет равна нулю.
Система должна иметь решение.
Если уравнений будет недостаточно для решения, добавьте уравнение суммы векторов по треугольнику, в который боковая сторона входит.
Решив систему можно найте недостающую сторону, и по формуле Герона найти площадь пары треугольникоа.
Ответ 54.