Школы

Юбилейная задача /снова пятница 13-е :-) /

Очередная пятница 13-е, и значит очередная задача.
На этот раз из олимпиады, 8 класс. (Числа изменены. )

Поезда А и В двигаются по прямой навстречу друг другу, А со скоростью 32км/ч, В со скоростью 82км/ч. Когда расстояние между поездами равнялось 513км (*) с лобового стекла поезда А взлетела муха и полетела в направлении поезда В. Долетев до поезда В развернулась и полетела в сторону поезда А. Там снова развернулась и полетела в сторону поезда В. И т. д. Так муха летала до того момента, когда поезда столкнулись и раздавили её.
Спрашивается, путь какой длины (относительно земли) пролетела муха, если её собственная скорость равна 135км/ч (**), а в направлении от поезда В к поезду А дует ветер с постоянной скоростью 13км/ч (***). Таким образом, к поезду В муха летит со скоростью 135-13=122км/ч, а к поезду А ---со скоростью 135+13=148км/ч. (Предполагается, что муха разворачивается мгновенно. )

ПРИМЕЧАНИЕ: Задачу можно легко решить с помощью формулы для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Но восьмиклассники не знают не только бесконечной геометрической прогрессии, но и вообще никаких бесконечных сумм. Поэтому в решении недопустимо использование бесконечных сумм.

------------------------------------------------------

(*) А вы думали, что в пятницу 13-го расстояние может быть другим?? ? :-))

(**) И не нужно говорить, что мухи с такой скоростью не летают. 13-го числа летают. А в пятницу 13-го могут развивать скорость до 666км/ч. :-))
(Источник: Мускагексакосиойгексеконтагексапараскаведекатриафобия)

(***) Вы ведь знали, что скорость ветра будет именно такой. :-))
ТИ
Татьяна Илларионова
23 053
Ещё вариант, как раз для 8-го класса.

Пусть туда муха летает время t, обратно 4,5-t.
Выпускаем вторую муху, которая летает без разворотов, из первого поезда в направлении «туда» , летит время t, разворачивается «обратно» , летит 4,5-t, прилетает в место встречи.

122t-148(4,5-t)=32*4,5
270t=810
t=3
Пролетела
S=122t+148(4,5-t)=588

ЗЫ. Перенесла решение старых из комментов, появившихся, прошу заметить, до предыдущего ответа.
Vlada =)))
Vlada =)))
29 431
Лучший ответ
a-b=v1*(t1+t2), a=v-*t1, b=v+*t2
a/b = (v1+v+)v-/(v- -v1)/v+ = (32+148)*122/(122-32)/148=61/37
a-b=144
61x-37x=513*32/(32+82)=144
x=144/24=6
a+b=98x=588
и не обязательно циклы рассматривать
Юлия Шутова
Юлия Шутова
22 753
Поскольку в начальный момент расстояние между поездами равно 513 км, а поезда развивают общую скорость 114 км/ч, то от начала движения до столкновения проходит 4.5 ч. Все эти 4.5 ч муха находится в полете. Поскольку она развивает скорость 135 км/ч, то до того момента, как столкнувшиеся локомотивы раздавят ее, муха успеет пролететь 607.5 км. А ветер пускай себе дует, вообще рояля не играет))
Актилек Омарова
Актилек Омарова
3 640
Татьяна Сущенко Почему это ветер роли не играет? Если его скорость будет 103 км/час, то муха пролетит столько же, сколько проедет поезд - 144 км, а никак не 607,5. Из этих 607,5 км благодаря ветру будет преодолено 4,5 * 13 = 58,5 км. Таким образом, мухиных осталось 607,5 - 58,5 = 549 км
«Всё не просто, а о́чень просто» , – говорил Сванте Свантесон.

Решим задачу не только без применения формулы суммы геометрической прогрессии, но и без построения парабол, касающихся прямой в своих вершинах.
Многогранную логику и нестандартные приёмы также применять не будем, поскольку они способны негативно отразиться на неокрепшей психике восьмиклассников.

Исходя из условия задания, обозначим исходное расстояние (в км)
и скорости относительно Земли (в км/ч) :

S = 513, Va = 32, Vb = 82, Vm = 135, U = 13

Определим относительные скорости:

сближения поездов Vab = Va + Vb = 32 + 82 = 114

сближения мухи с поездом B: Vmb = Vm – U + Vb = 135 – 13 + 82 = 204

сближения мухи с поездом A: Vma = Vm + U + Va = 135 + 13 + 32 = 180

Время сближения поездов T = S/Vab = 513/114 = 4,5 часа

Далее задачу можно решить как минимум двумя способами. Рассмотрим их оба.

Пусть за один цикл (во время движения поездов) муха пролетает от поезда A к поезду B и обратно.
Обозначим через S0 расстояние между поездами в начале цикла.
Тогда время движения мухи от поезда A к поезду B
t1 = S0/Vmb = S0/204
За это время расстояние между поездами сократится на
x1 = Vab•t1 = (Vab/Vmb)•S0 = (114/204)•S0 = (19/34)•S0
и составит S1 = S0 – x1 = (1 – (19/34))•S0 = (15/34)•S0
Время движения мухи обратно (от поезда B к поезду A)
t2 = S1/Vma = S1/180 = (15/34)•S0/180 = S0/(12•34) = S0/408
При этом поезда сблизятся на x2 = Vab•t2 = 114•S0/408 = (19/68)•S0
Расстояние между поездами составит
S2 = S1 – x2 = (15/34)•S0 – (19/68)•S0 = (11/68)•S0

Циклы повторяются бесконечное число раз до тех пор, пока поезда не столкнутся, раздавив муху. Расстояние между поездами в начале следующего цикла равнялось S2.

Первый способ

Общее время движения мухи T = T1 + T2, причём в течение времени T1 муха преодолевала участки пути от поезда A к поезду B со скоростью
Vm – U,
а в течение времени T2 – участки от поезда B к поезду A со скоростью
Vm + U.
Составим пропорцию: T1/T2 = t1/t2 = (S0/204)/(S0/408) = 2
Тогда T1 = 2•T/3, T2 = T/3

Длина преодолённого мухой пути

L = (Vm – U)•T1 + (Vm + U)•T2 = [2•(Vm – U) + (Vm + U)]•T/3 =
= (3•Vm – U)•T/3 = (3•135 – 13)•4,5/3 = (405 – 13)•1,5 = 392•1,5 = 588 км

Второй способ

При сокращении в цикле расстояния между поездами на x1 = (19/34)•S0
муха преодолевает расстояние
b1 = (Vm – U)•t1 = 122•S0/204 = (61/102)•S0,
а при сокращении расстояния на x2 = (19/68)•S0 – расстояние
b2 = (Vm + U)•t2 = 148•S0/408 = (37/102)•S0
Соответственно при сближении поездов на x = x1 + x2 = (57/68)•S0
муха преодолевает b = b1 + b2 = (98/102)•S0 = (49/51)•S0.
Тогда L/S = b/x = ((49/51)•S0)/((57/68)•S0) = (49•68)/(51•57) =
= (49•4)/(3•57) = 196/171

L = (196/171)•S = 196•513/171 = 196•3 = 588 км

Всегда с Вами,

Михаил Панико́вский
^__^

PS. И ради Бога, не коверкайте мою фамилию.

Alena Maksimenkova
Alena Maksimenkova
289
Лия Бикешева Да, очень просто, особенно для учеников 8-го класса. Вот еще вариант.
Пусть при старте мухи расстояние между поездами S0. Тогда путь туда S1=S0/(122+82)*122=61*S0/102.
Первый поезд пройдет путь Sa=S0/(122+82)*32=16*S0/102.
Путь обратно S2=(S1-Sa)/(148+32)*148=45*S0/102/180*148=37*S0/102.
Тогда S1/S2=61/37; S2=37*S1/61
Следовательно, весь путь, который пролетит муха S = Sтуда+Sобратно=Sтуда+37*Sтуда/61 = 98*Sтуда/61
Sтуда = 61*S/98, Sобратно = 37*S/98
Находим среднюю скорость полета мухи: V=S/(t1+t2) = S/(Sтуда/122+Sобратно/144)=S/(S/(98*2)+S/(98*4))=98*4/3
Находим путь: S=Vt=98*4/3*4.5=588
Таня Цепельникова А прикольно, наверное, самому себе ответы плюсовать, правда, г-н ПАНИКовский? )))

Похожие вопросы