Можно мне заниматься в зале? Мне 13 лет, рост 174, вес 62 кг

Занятия в тренажёрном зале можно начать с 14 (в некоторые залы к занятиям в тренажерном зале допускаются лица, достигшие 12-летнего возраста с разрешения родителей) , но с первого же занятия нужно приучать правильно выполнять упражнения. На рост особого влияния не будет, наоборот осанка станет прямее за счёт улучшения общего тонуса мышц.
Но обязательным условием является правильное выполнение всех упражнений, иначе травма и "память" о ней на всю жизнь.

да с 12 можно

Самый ранний возраст, в котором Вы уже можете ожидать прибыль от бодибилдинга (в виде увеличения размера мышц), находится в подростковом возрасте и составляет 10 лет (по данным Всемирной организации здравоохранения). Однако при работе с железом в таком юном возрасте необходимо помнить, что только грамотно составленная программа тренировок, а также наблюдение за исполнением силовых упражнений (контроль техники со стороны) являются залогом безопасности для молодежи. Также не лишним будет иметь под рукой квалифицированного спортивного врача, который сможет вывести конкретные рекомендации по занятиям с отягощениями для Вас.

Арнольд Шварценеггер, самый известный культурист, начал заниматься вопросами построения тела с 13 лет и занятий тяжелой атлетикой. В возрасте 23 лет он уже выиграл турнир Мистер Олимпия, став самым молодым бодибилдером, которому удалось это сделать.
http://ferrum-body.ru/so-skolki-let-mozhno-hodit-v-trenazhernyiy-zal.html

Для силовой атлетики типа бодибилдерства - рано.

Можно, с маленьких весов начинай и старайся следить за техникой ведь от этого зависит как ты будешь расти, следи также за режимом ходи через день или день через два и главное! если хочешь растить мышцу то правильно питайся ешь больше таких продуктов как мысо, творог, яйца. По подробнее почитай о питании в интернете.

в тренажерном?
Конечно

Естественно

Желательно чтобы тренер написал программу тренировки

Да конеш!