Что даёт дискриминант уравнений степени больше 3. например для x^3+px+q

Дискриминант для любых уравнений показывает количество и вид его корней.

Для квадратного уравнения он равен D = b^2 - 4ac; если он положительный, то у уравнения два действительных корня, если равен нулю - то один, если отрицательный - то действительных корней нет.

Для кубического уравнения он расчитывается несколько сложнее.
Сначала нужно найти вспомогательные коэффициенты d0 и d1:
d0 = b^2 - 3ac
d1= 2b^3 - 9abc + 27da^2.

После чего определяется непосредственно сам дискриминант: D = (d1^2 - 4*d0^3) / (-27a^2).

Если дискриминант положительный, то уравнение имеет три решения; если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет одно или два решения; если дискриминант отрицательный, то уравнение имеет только одно решение. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере одно решение, потому что график такого уравнения пересекает ось X по крайней мере в одной точке.

В случае, если кубическое уравнение записано в канонической форме x^3 + px + q = 0, то его можно решить по формуле Кардано, определяя коэффициент Q = (p / 3)^3 + (q / 2)^2.

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:
* Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.
* Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
* Q < 0 — три вещественных корня.

По формуле Кардано корни кубического уравнения в канонической форме равны:
x1 = a + b;
x2 = -(a + b) / 2 + i * (a - b) * sqrt(3) / 2;
x3 = -(a + b) / 2 - i * (a - b) * sqrt(3) / 2, где:
a = (- q / 2 + sqrt(Q))^(1/3);
b = (- q / 2 - sqrt(Q))^(1/3).

Дискриминант же многочлена x^3 + px + q = 0 в данном случае равен D = -108Q.

так больше 3? или степени 3? =) как минимум, позволяет определить характер корней (действительные или комплексные). Почитайте учебные пособия, там подробно описано и получение его и применение.

дискриминант считается в квадратных уравнениях, для кубических и прочих - другие методы