Диффуры, задача Коши

1) Решим однородное уравнение:
y'' + 3 y' + 2 y = 0
Ищем решение в виде: y = exp(kx)
exp(kx)'' + 3 exp(kx)' + 2 exp(kx) = 0
k^2 exp(kx) + 3k exp(kx) + 2 exp(kx) = 0
(k^2 + 3k + 2) exp(kx) = 0
k^2 + 3k + 2 = 0
k^2 + 2 k (3/2) +9/4 = 1/4
(k + 3/2)^2 = 1/4
k +3/2 = (+/-) 1/2
k = -3/2(+/-)1/2
k1 = -2
k2 = -1
Получили два независимых решения:
y1 = exp(-x)
y2= exp(-2x)
Решение однородного уравнения: y = C1 y1 + C2 y2, где C1, C2 - произвольные константы
2) Метод вариации постоянных:
Решение исходного уравнения ищем в виде: y = A y1 + B y2, где A, B - неизвестные функции.
Переходя от уравнения второго порядка для y к системе первого порядка для y и y', можно показать, что:
A' y1 + B' y2 = 0
A' y1' + B' y2' = exp(-x) / (2 + exp(x) )
Для A', B' имеем систему линейных уравнений.
exp(-x) A' + exp(-2x) B' = 0
-exp(-x) A' -2 exp(-2x) B' = exp(-x) / (2 + exp(x) )
Складываем уравнения:
- exp(-2x) B' = exp(-x) / (2 + exp(x) )
B' = exp(x) / (2 + exp(x) )
Подставляем в первое уравнение системы:
exp(-x) A' + exp(-2x) exp(x) / (2 + exp(x) ) = 0
A' = - 1/(2 + exp(x))
Зная A', B', находим A, B:
A = C1 + [ ln(2+exp(x)) - x]/2
B = C2 + ln(2+exp(x))
Запишите общее решение:
y = A exp(-x) + B exp(-2x)
Из дополнительных условий найдите константы C1, C2.
Удачи