Определённый интеграл - теория, кратко.

Определенный интеграл - это предел интегральной суммы при стремящейся к нулю величине разбиения. Соответственно, для существования определенного интреграла необходимо и достаточно существование предела интегральной суммы, и он должен быть одинаковым при любом построении интегральной суммы.
Самые крайние случаи интегральных сумм - верхня и нижняя интегральные суммы. Согласно Дарбу: для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы при стремлении разбиения к нулю, разность верхней интегральной суммы и нижней интегральной суммы стремилась к нулю.

у Пифагора гипотенуза равна сумме квадратов катетов
по канонам матанализа гипотенуза равна катету (или в пределе - половине катета)
но…
у Пифагора реальная фигура – треугольник, ПЛАНИМЕТРИЯ
а в матанализе – прямоугольная система координат, абстракция, в которой точка y=f(x,y) может отображать ВСЁ, ЧТО УГОДНО, и этим воспользовались математики

средневековые математики обратили внимание на некоторую закономерность в формулах – возможность жонглировать коэффициентами и степенями
и ничтоже сумняшеся перенесли это жонглирование на любые функции
так появился матанализ - отыскание функции двумя способами
например:
1\ y=∫y’dx=∫хdx= x^2/2
2\ y’=(y)’=( x^2/2)’=x
в итоге весь матанализ свёлся к одной универсальной формуле
y↔y'↔C↔0↔C↔y'↔y
(тут автору вопроса следует задуматься = разве всего одна формула может считаться математикой?)

посмотри ссылку http://es.niv.ru/doc/encyclopedia/mathematics/articles/1498/integral.htm
эта ссылка удобна тем, что она, с одной стороны, показывает историю мошенничества, а с другой ярко и показательно раскрывает его суть
формула Ньютона – Лейбница позволяет вычислить площадь фигуры
по однозначному утверждению математиков площадь фигуры численно равна пути, пройденному телом
но путь тела за единицу времени есть скорость
y=∫y’dx=F(b)-F(a)=v=(x^2/2)-(x-1)^2/2=x-0,5
имеем y’=v= x-0,5=x
чтобы 0,5 приравнять нулю, были выдуманы пределы
то есть, формула Ньютона – Лейбница опровергает как интеграл, в том числе – определенный, так и весь матанализ

в итоге, одни математики официально признали ошибочность матанализа, а другие математики продолжают выкручиваться, и называть производную не скоростью, а характеристикой скорости
однако, это совершенно разные вещи