Дифференциальное уравнение. Попытка готовиться к экзамену

1) Дифференциальное уравнение (содержит производные) второго порядка (максимальная производная в уравнении - вторая).
Раз так, то после интегрирования решение (общее решение) должно содержать две неопределенные константы (меняя значения констант вы будете получать разные частные решения, поэтому общее решение - это семейство бесконечно числа решений уравнения).
2) Задача Коши для уравнения подразумевает, что для какого-то одного значения x вам даны 2 условия (т. к. уравнение второго порядка), из которых можно будет найти значения двух констант, т. е. из бесконечного множества решений выбрать одно конкретное - частное решение.
(Доп. условия могут включать в себя различные комбинации функции и ее производных при различных значениях x, тогда это уже не задача Коши).
3) Уравнение линейное, т. к. сама функция y и все ее производные входят линейным образом.
4) Уравнение однородное, т. к. при замене y на kz, уравнение для z будет точно таким же (линейное уравнение будет однородным, если не будет слагаемого, не содержащего искомую функцию и ее производные, обычно такое слагаемое записывают справа).
(Вообще, уравнение для y(x) будет однородным, когда, при замене y на kz, x на k^n t, уравнение для z(t) получится точно таким же. В случае линейного уравнения n=0).
5) Т. к. уравнение линейное, то сумма его решений - тоже решение. И наоборот: решение можно представить как линейную комбинацию решений. То есть решение уравнения будем ожидать в виде: Y(x) = C1 Y1(x) + C2 Y2(x), где C1, C2 - некоторые коэффициенты, Y1 и Y2 - некоторые независимые решения уравнения.
6) Задача сводится к подбору, отысканию или угадыванию двух любых независимых решений. (Решения независимы в том смысле, что одно нельзя получить из остальных с помощью линейных комбинаций).
Идея:
В уравнении производны и сама функция складываются между собой и в сумме дают ноль, такое нельзя сделать с функциями разного вида, а это значит, что производные и сама функция - функции одного вида. Какая функция при взятии производной дает функцию того же вида? Экспонента.
7) Тогда ищем решение в виде: Y(x) = exp(kx). Тогда Y '(x) = k exp(kx), Y ' '(x) = k^2 exp(kx).
Подставляем в уравнение:
k^2 exp(kx) - 9 exp(kx) = 0
[k^2 - 9] exp(kx) = 0
(exp(kx) - не равна тождественно нулю)
k^2 - 9 = 0
k^2 = 9
k = -3 и k = 3.
Получили два независимых решения:
Y1(x) = exp(-3x) и Y2(x) = exp(3x)
(Нашли два независимых решения. Если бы оказалось, что есть только одно такое k, то мы бы нашли одно решение. А нужно два. Тогда пришлось бы продолжить искать второе независимое решение. Если у вас будет такая ситуация, то начинайте искать решения в виде x^n exp(kx), если корень вырожден 1 раз, то возьмите n=1.)
8) Общее решение:
Y(x) = C1 exp(-3x) + C2 exp(3x)
9) Запишем доп. условия:
Y(0) = C1 + C2
Y '(0) = - 3 C1 + 3 C2
Или (по условию задачи):
C1 + C2 = 2
- 3 C1 + 3 C2 = 2
Последние два равенства рассматриваем как систему относительно C1 и C2. Находим:
C1 = 2/3, C2 = 4/3
10) Тогда искомое частное решение:
Y(x) = (2/3) exp(-3x) + (4/3) exp(3x)
Удачи на экзамене =)

1. y'' - поэтому это дифф ур второй степени. После равно=0, тогда это однородное ( без специальной правой части). у (0)=2 это краевые условия или задача Коши. Эти условия нужны, чтобы найти коэффициенты С1, С2....
1) находишь корни однородного уравнения ( левая часть). Ищи. И выкладывай здесь. Пойдем дальше.