Дифференциальное уравнение Бернулли

Так вы даже знаете его название. В гугле есть подробная инструкция, как применить к нему идею Бернулли) Идея: есть такое n, при котором после замены y = z^n уравнение для z станет линейным.
Вообще, приглядитесь, оно решается сразу разделением переменных) Но раз вам подчеркнули, что это уравнение Бернулли, то решим его как и любое уравнение Бернулли.
y ' + 2 x y = x y^3
Ищем решение в виде:
y = z^n (значение n выберем потом, какое окажется удобнее), тогда: y ' = n z^(n-1) z '
Уравнение примет вид:
n z^(n-1) z ' + 2 x z^n = x z^(3n)
Уберем множитель перед производной (для красоты):
z ' + (2/n) x z = (1/n) x z^(2n+1)
Выберем такое n, чтобы уравнение стало линейным (ничего более простого тут не получится).
Хочется сказать, что вот возьмем n=0, и будет линейное однородное уравнение. Но нет. Если выбрать n=0, то окажется, что мы ищем решение в виде: y = 1. Так мы просто проверим, является ли y = 1 решением уравнения..
Потребуем, чтобы 2n+1 = 0. Тогда n = - 1/2. Уравнение для z примет вид:
z ' - 4 x z = - 2 x (неоднородное линейное уравнение).
Ну а это уравнение я уже не буду решать как любое линейное неоднородное. Долго. Заметим, что и оно решается сразу разделением переменных:
z ' = 4 x (z - 1/2)
dz / (z - 1/2) = 4 x dx
Интегрируем слева по z, справа по x:
ln|z - 1/2| = 2 x^2 + A
Причесываем (выражаем z):
z - 1/2 = B exp(2 x^2)
z = 1/2 + B exp(2 x^2)
Вернемся к y:
y = z^(-1/2)
y = 1 / sqrt( 1/2 + B exp(2 x^2) )
Или:
y = sqrt(2) / sqrt( 1 + C exp(2 x^2) ) (мне так больше нравится).
Получили общее решение.
Но, еще раз, если вам не принципиально решать его как уравнение Бернулли, то можете сразу бахнуть его разделением переменных (бумагу сэкономите).
Удачи =)