Диффернциальное уравнение 2 порядка

Ответ.

1) Найдем общее решение вспомогательного (однородного) уравнения:
z'' + 10 z' + 25 z = 0
Т. к. уравнение второго порядка, для его решение нужно интегрировать дважды. Должны возникнуть две константы интегрирования.
С другой стороны, если найти два линейно-независимых решения: z1(x) и z2(x), то линейная комбинация этих решений:
z(x) = c1 z1(x) + c2 z2(x) - тоже решение уравнения, обладающее двумя произвольными постоянными. Значит, из теоремы о существования и единственности решения, это и есть общее решение уравнения.
Ищем два независимых решения. Попробуем искать решение в виде: z = exp(kx). Подставим в таком виде в уравнение:
exp(kx)'' + 10 exp(kx)' + 25 exp(kx) = 0
(k^2 + 10 k + 25) exp(kx) = 0
k^2 + 10 k + 25 = 0
k = - 5
Значит z1(x) = exp(-5 x) - решение уравнения. Нужно еще одно. Будем искать его в виде: z2(x) = f(x) z1(x). Подставим в таком виде в уравнение:
(f z1)'' + 10 (f z1)' + 25 f z1 = 0
f '' z1 + 2 f ` z1` + f z1'' + 10 f ' z1 + 10 f z1' + 25 f z1 = 0
Перегруппируем:
f (z1'' + 10 z1 ' + 25 z1) + f '' z1 + 2 f ' z1' + 10 f ' z1 = 0
Выражение в скобках равно нулю, т. к. z1 - решение уравнения. Тогда:
f '' + 2 [5 + ( z1 ' / z1 )] f '= 0
Очевидно: z1 ' / z1 = - 5, тогда:
f '' = 0
f ' = C1
f = C1 x + C2
Получаем второе решение в виде:
z2(x) = (C1 x + C2) exp(-5x)
Тогда общее решение:
Z(x) = A z1(x) + B z2(x) = A exp(-5x) + B (C1 x + C2) exp(-5x)
Перегруппируем:
Z(x) = [A + B C2] exp(-5 x) + [B C1] x exp(-5 x)
переобозначим:
A + B C2 = a1
B C1 = a2
И получаем:
Z(x) = a1 exp(-5 x) + a2 x exp(-5 x) - общее решение однородного уравнения
(a1, a2 - константы интегрирования).
2) Найдем любое частное решение исходного уравнения. Было уравнение:
y'' + 10 y' + 25 y = cos(6x)
Ничто не мешает рассмотреть еще одно уравнение:
p'' +10 p' + 26 p = sin(6x)
Рассмотрим эти два уравнения как систему. Второе уравнение домножим на мнимую единицу и сложим с первым:
[y + i p] '' + 10 [y + i p] ' + 25 [y+ i p] = cos(6x) + i sin(6x)
Обозначим:
y + i p = W
тогда:
W '' + 10 W ' + 25 W = exp(6ix)
Т. к. производная от экспоненты - это экспонента, решение попробуем искать в виде:
Wч = A exp(6ix)
Подставим в уравнение:
- 36 A exp(6ix) + 60 i A exp(6ix) + 25 A exp(6ix) = exp(6ix)
Приведем подобные слагаемые, сократим на экспоненту:
[ 60 i - 11 ] A = 1
Выразим A:
A = 1 / [60 i - 11]
Тогда частное решение сконструированного нами уравнения:
Wч = exp(6ix) / [60 i - 11]
И частное решение исходного уравнения:
Yч = Re{ exp(6ix) / [60 i - 11] } = [ 60 sin(6x) - 11 cos(6x) ] / 3721
(реальную часть комплексного числа уж подробно находить не буду)
Тогда, если сложить речение однородного уравнения z(x) и частное решение исходного уравнения Yч (x) мы получим решение исходного уравнения, обладающее двумя константами интегрирования. Общее решение должно иметь такой вид. Из теоремы существования и единственности следует, что это и есть общее решение уравнения.
Ответ:
y(x) = a1 exp(- 5 x) + a2 x exp(- 5 x) + [60 sin(6x) - 11 cos(x) ] / 3721