Дифференциальная геометрия в вузе

Понятия не имею, как это по идее надо делать. Уже не помню. Но можно просто пойти в лоб (наверняка это будет не самое рациональное решение). Есть у вас поверхность:
F(x,y,z) = 0
Возьмем точку с этой поверхности (a,b,c). Раз она принадлежит поверхности, то:
F(a,b,c) = 0
Рассмотрим уравнение поверхности вблизи этой точки:
F(x,y,z)=0
F(a+(x-a), b+(y-b), c+(z-c)) = 0
Разложим в ряд до первого порядка:
F(a,b,c) + Fx(a,b,c) (x-a) + Fy(a,b,c) (y-b) + Fz(a,b,c) (z-c) = 0
Первое слагаемое равно нулю, т. к. (a,b,c) принадлежит поверхности.
Fx(a,b,c) (x-a) + Fy(a,b,c) (y-b) + Fz(a,b,c) (z-c) = 0
Или:
Fx(a,b,c) x + Fy(a,b,c) y + Fz(a,b,c) z = a Fx(a,b,c) + b Fy(a,b,c) + c Fz(a,b,c)
Получили уравнение, соответствующее некоторой поверхности.
Во-первых, эта поверхность совпадает с исходной поверхность F(x,y,z) = 0 всюду в окрестности точки (a,b,c) (это следует из того, как мы получили это уравнение).
Во-вторых, это уравнение плоскости.
Т. е. мы получили уравнение касательной плоскости, которая касается поверхности в точке (a,b,c).
Если у нас есть плоскость, уравнение которой:
A x + B y + C z = D
то нормаль к ней направлена вдоль вектора:
{A, B, C}.
Значит (раз мы ищем не любые касательные плоскости, а параллельные данной в условии плоскости x + 4y + 6z = 0) мы знаем соотношение для Fx, Fy, Fz:
Fx : Fy : Fz = 1 : 4 : 6
Это два независимых соотношения, т. к. любые два из них уже порождают третье. Выберем их так:
Fy(a,b,c) = 4 Fy(a,b,c)
Fz(a,b,c) = 6 Fx(a,b,c)
И вспомним про равенство:
F(a,b,c) = 0
Последние три равенства - это три уравнения с тремя неизвестными a,b,c.
Выходит, получили алгоритм действий в общем случае.
1) Записываете уравнение поверхности в виде: F(x,y,z) = 0
2) Находите производные: Fx(x,y,z), Fy(x,y,z), Fz(x,y,z)
3) Находите a, b и с из системы:
F(a,b,c) = 0
Fy(a,b,c) = 4 Fx(a,b,c)
Fz(a,b,c) = 6 Fx(a,b,c)
4) Записываете уравнение поверхности для каждой найденной тройки (a,b,c):
Fx(a,b,c) x + Fy(a,b,c) y + Fz(a,b,c) z = Fx(a,b,c) a + Fy(a,b,c) b + Fz(a,b,c) c
Или, если поделить уравнение на Fx и сразу учесть уравнения для a,b,c:
x + 4 y + 6 z = a + 4 b + 6 c
Удачи.