Дифференциальная геометрия (уровень СПбГУ)

Если у вас не было проблем в первом семе, тут для вас должно все в целом решаемо (особенно первые два номера), это уровень введения в диф. геом. примерно для первого курса любого нормального тех. вуза. И тут, кстати, догадываться ни до чего не надо, надо просто знать (курс ан. геом., векторной алгебры, и просто определения основные из диф. геом.).
2.1) Кривая задана параметрически:
r = f(t).
Найдите производные по параметру:
v(t) = r'(t),
w(t) = r''(t).
Далее можете разложить f(t) в окрестности t0 и отбросить слагаемые, содержащие степень (t - t0) выше второй:
r = f(t0) + v(t0) (t - t0) + w(t0) (t - t0)² / 2.
Это уже уравнение для плоской кривой, проходящей через f(t0), и в окрестности это точки совпадающей с исходной кривой. Плоскость, в которой эта кривая лежит - соприкасающаяся влоскость для кривой в точке f(t0). Для построения плоскости вам придется найте нормаль к ней:
[v(t0), w(t0)],
и дальше записываете уравнение плоскости (в виде смешанного произведения):
(r - f(t0)) [v(t0), w(t0)] = 0.
2.1*) Тут все то же самое. Соприкасающуюся плоскость уже "обсудили". Нормальная плоскость в точке f(t0) должна проходить через эту точку перпендикулярно v(t0), поэтому сразу можно выписать ее уравнение:
(r - f(t0)) v(t0) = 0.
3) Натуральное уравнение параметризуется длиной. Можно найти длину, например, отн-но f(1):
s(t) = ∫ |v(q)| dq, (от q = 1 до q = t).
Теперь сделайте замену в параметризации кривой, и перейдите к параметру s.

Надо было в КнАГУ поступать. А сейчас кидай в кипящий мозг пакетик чая и прихлёбывай....