Задача по теории вероятности

Пусть момент прибытия одной машины: x, время ее разгрузки tx.
Пусть момент прибытия другой машины: y. время ее разгрузки ty.
Пусть машины могут прибыть от момента t1 до момента t2 = t1 + T.
То есть T - время, в течение которого каждая из них может прибыть.
Реализация конкретного исхода - это какие-то определенные значения x и y, причем x и y - независимы.
Построим координатную плоскость XY, которая будет содержать все возможные пары значений (x, y), и отложим на ней доступную для реализации область:
t1 < x < t1 + T (красная на первой картинке)
t1 < y < t2 + T (синяя на первой картинке)
Это будет квадрат со стороной T.
А теперь подумаем, когда машины будут мешать друг другу?
1) Пусть x приехал раньше:
x < y
или:
y - x > 0
x помешает y, если разница во времени между приездом y и x меньше, чем время разгрузки x:
y - x < tx
Получаем условие:
0 < y - x < tx
Нарисуем эту область на графике (на втором рисунке - красным).
2) Пусть y приехал раньше:
y < x
или:
y - x < 0
y помешает x, если разница во времени между приездом x и y меньше, чем время разгрузки y:
x - y < ty
или:
y - x > - ty
Получаем условие:
0 > y - x > - ty
Нарисуем эту область на графике (на втором рисунке - синим).
Теперь задача свелась к простой геометрии. Интересующая нас вероятность равна отношению площади интересующей нас области (два угловых треугольника, оставшиеся зелеными) к площади всей доступной области (квадрата со стороной T).
Площадь всей доступной области:
S = T^2
(квадрат со стороной T)
Площадь верхнего левого треугольника:
S1 = 0.5 (T-tx)^2
(прямоугольный треугольник с катетами T-tx)
Площадь нижнего правого треугольника:
S2 = 0.5 (T-ty)^2
(прямоугольный треугольник с катетами T-ty):
Тогда площадь всей интересующей нас области:
S0 = S1 + S2 = [ (T-ty)^2 + (T-tx)^2 ] / 2
И искомая вероятность того, что машины не помешают друг другу:
P = S0 / S = [ (T-ty)^2 + (T-tx)^2 ] / [2 T^2]
Все времена записываем в одних и тех же единицах (запишу в минутах):
T = 90
tx = 15
ty =20
Тогда:
P = [ (90-20)^2 + (90-15)^2 ] / [2 90^2] = 0.6497
Ответ: машины не помешают друг другу с вероятность 64,97%