Теория надежности. Как определить вероятность безотказной работы P(t), зная среднюю наработку на отказ Tо?

Я не знаю ничего о теории надежности, но попробую влезть, если вы не против)
Пусть в какой-то момент времени прибор еще работает. За следующий промежуток времени dt вероятность отказа:
dP = a dt
Пусть S(t) - вероятность того, что к моменту времени t прибор еще не отказал.
Тогда вероятность того, что прибор не отказал к моменту t + dt:
S(t + dt) = S(t) (1 - dP)
(справа произведение вероятностей не отказать к моменту t и не отказать за следующий промежуток времени dt)
Преобразуем:
S(t + dt) = S(t) (1 - a dt)
S(t + dt) - S(t) = - a S(t) dt
dS = - a S dt
dS / S = - a dt
Переменные разделились. Интегрируем слева по S, справа по t:
ln(S) = Const - a t
Выразим S:
S = C exp(- a t)
Учтем, что в момент времени t = 0 прибор точно не сломался:
S(0) = 1
Тогда C = 1. И получаем вероятность, что к моменту t прибор еще работает:
S(t) = exp(- a t)
Выразим от сюда вероятность того, что к моменту t прибор отказал:
R(t) = 1 - S(t) = 1 - exp(-a t)
Выразим вероятность того, что прибор откажет в промежуток времени между t и t+dt:
dP(t) = R(t+dt) - R(t) = (dR/dt) dt = a exp(- a t) dt
Найдем среднее время безотказной работы (если я правильно понимаю, у вас это и называется To).
Нужно проинтегрировать от t=0 до t=+беск. выражение:
t dP(t) = a t exp(- a t) dt
Получаем:
To = 1/a.
Все, нашли связь константы a и времени безотказной работы.
Тогда вероятность того, что прибор к моменту времени t еще работает:
S(t) = exp(- t / To)
Ну... теперь надо понять, что имеется ввиду указанная у вас вероятность P. Может дальше вы сами свяжете. Или можете попробовать объяснить, что имеется ввиду, там подумаем)

Элементарное экспоненциальное распределение.