Приближенные вычисления. Высшая математика

Немного перезапишем ваше выражение:
S = ln(2.04^2 - 2.96) = ln([2 + 0.04]^2 - [3 - 0.04])
0.04 обозначим за x, будем считать его малой величиной. И продолжим преобразовывать ваше выражение:
S = ln([2 + x]^2 - [3 - x]) = ln(4 + 4 x + x^2 - 3 + x) = ln(1 + [5 x + x^2])
Вся величина в квадратных скобках является малой. Рассмотрим функцию:
f(z) = ln(1 + z)
разложим ее в ряд Тейлора в окрестности z = 0. Возьмем пару производных:
f'(z) = 1 / (1 + z)
f''(z) = - 1 / (1 + z)^2
Найдем значения функции и производных в точке z = 0:
f(0) = ln(1) = 0
f'(0) = 1 / (1 + 0) = 1
f''(0) = - 1 / (1 + 0)^2 = - 1
Теперь можем записать первые члены разложения:
f(z) = f(0) + f'(0) z + 0.5 f''(0) z^2 + o(z^2)
ln(1 + z) = z - 0.5 z^2 + o(z^2)
При |z| << 1 каждое следующее слагаемое меньше предыдущего. Все слагаемые, начиная с некоторого мы можем отбросить. И то, что останется, считать приближенным выражением для нашей функции вблизи z = 0;
Теперь берем ваше S. Там роль малой величины z будет играть (5 x + x^2). Запишем:
S = [5 x + x^2] - 0.5 [5 x + x^2]^2 + o(x^2)
o(x^2) содержит все целые степени x выше 2-й, которыми мы пренебрежем. Раз мы пренебрегаем степенями x выше 2-й, то мы должны пренебречь ими везде, иначе это будет превышением точности. Раскроем скобки и просто уберем все слагаемые, у которых x в степени выше второй в величину o(x^2), где им и место:
S = 5 x - 11.5 x^2 + o(x^2)
Теперь отбрасываем все слагаемые со степенью x выше 2-й, и получаем приближенное выражение для |x| << 1:
S ≈ 5 x - 11.5 x^2
Теперь подставляем ваш x = 0.04 и можем записать результат:
ln(2.04^2 - 2.96) = S ≈ 0.1816

что понимаете?

Какое условие к примеру?