Задание по высшей математике

Ищите частное решение в виде:
y = A x^2 + B x + C
Подставляете в уравнение:
(A x^2 + B x + C)'' + 2 (A x^2 + B x + C)' + 5 (A x^2 + B x + C) = 5 x^2 + 9 x + 9
Берете производные:
(2 A) + 2 (2 A x + B) + 5 (A x^2 + B x + C) = 5 x^2 + 9 x + 9
перегруппируете:
(5 A - 5) x^2 + (4 A + 5 B - 9) x + (2 A + 2 B + 5 C - 9) = 0
Из независимости 1, x, x^2 следует равенство нулю каждой из скобок:
5 A = 5
4 A + 5 B = 9
2 A + 2 B + 5 C = 9
Из этих уравнений получаете:
A = 1
B = 1
C = 1
Тогда частное решение:
y = x^2 + x + 1
Далее рассматриваете однородное уравнение:
y'' + 2 y' + 5 y = 0
Ищите решение в виде:
y = exp(kx)
Подставляете в таком виде в уравнение:
exp(kx)'' + 2 exp(kx)' + 5 exp(kx) = 0
(k^2 + 2 k + 5) exp(kx) = 0
k^2 + 2 k + 1 = - 4
(k + 1)^2 = - 4
k + 1 = (+/-) 2 i
k = - 1 (+/-) 2 i
Тогда общее решение однородного уравнения:
y = C1 exp([-1 + 2 i] x) + C2 exp([-1 - 2 i] x) =
= exp(- x) {C1 exp(2 i x) + C2 exp(- 2 i x)} =
= exp(- x) {[C1 + C2] cos(2 x) + i [C1 - C2] sin(2 x)}
= exp(- x) {A cos(2 x) + B sin(2 x)}
Воспользовались соотношением:
exp(i a) = cos(a) + i sin(a)
И перешли к новым независимым константам:
C1 + C2 = A
i [C1 - C2] = B
И общее решение уравнения:
y(x) = exp(- x) {A cos(2 x) + B sin(2 x)} + x^2 + x + 1
Подставляете начальные условия:
y(0) = A + 1 = 1
y'(0) = - A + 2 B + 1 = 1
Получаете:
A = 0
B = 0
Тогда решение задачи:
y = x^2 + x + 1
(решал сразу печатая, поэтому не переписывайте, а перепроверяйте, на всякий, вдруг где ошибки, опечатки)