Differential equation (Дифференциальное уравнение)

y'' - 2 y' + y = 0
Ищем решение в виде:
y = exp(k x)
Подставляем в уравнение:
exp(k x)'' - 2 exp(k x)' + exp(k x) = 0
exp(k x) [k^2 - 2 k + 1] = 0
k^2 - 2 k + 1 = 0
k = 1
Нашли одно решение:
y1 = exp(x)
Второе решение попробуем искать в виде:
y = z exp(x)
Подставляем в уравнение:
(z exp(x))'' - 2 (z exp(x))' + z exp(x) = 0
[z'' exp(x) + 2 z' exp(x) + z exp(x)] - 2 [z' exp(x) + z exp(x)] + z exp(x) = 0
z'' exp(x) = 0
z'' = 0
z' = A
z = A x + B
Нашли второе решение:
y2 = (A x + B) exp(x)
Тогда общее решнение:
y = c1 y1 + c2 y2 = c1 exp(x) + c2 (A x + B) exp(x) =
Или, если перегруппировать:
y = a1 exp(x) + a2 x exp(x)
Начальные условия:
y(2) = [a1 + 2 a2] exp(2) = 1
y'(2) = [a1 + 3 a2] exp(2) = - 2
От сюда находим:
a1 = 7 exp(-2)
a2 = - 3 exp(-2)
Решение задачи:
y(x) = 7 exp(x-2) - 3 x exp(x - 2)