Интегралы по частям

1) Есть у вас интегральчик. Вы берете и "разделяете" подынтегральное выражение на два множителя u и dv (диференциал пойдет во второй множитель, разумеется):
∫ f dx = ∫ u dv
2) Зная u, вы можете найти du, просто взяв дифференциал от u. Или:
du = u' dx
3) Зная dv, вы можете записать v в виде интеграла:
v = ∫ dv
Тут вы интегрируете часть исходного подынтегрального выражения (поэтому и называется "по частям"). Если проинтегрирвать не выходит, значит, вы неудачно выбрали, что обозначить за u, а что за dv.
4) Если вы нашли du и v, то вы можете совершить преобразование интеграла:
∫ u dv = u v - ∫ v du
Зачем? А потому что интеграл (второе слагаемое) может оказаться проще, чем исходный интеграл.
-
Можно рассмотреть примерчик:
∫ ln(x) dx
1) Обозначим:
ln(x) = u
dx = dv
2) Посчитаем du:
du = d(ln(x)) = (1 / x) dx
3) Посчитаем v:
v = ∫ dx = x
(Можно тут дописать константу интегрирования и выбрать ее какой угодно. Я выбрал ее равной нулю. Если интересно, можете попробовать ее не занулять и посмотреть, что получится)
4) Переписываем интеграл:
∫ ln(x) dx = ln(x) x - ∫ x dx / x
Причешем:
∫ ln(x) dx = ln(x) x - ∫ dx
Получили более простой интеграл. Берем его и получаем результат:
∫ ln(x) dx = ln(x) x - x + C