Вышмат. Поверхностный интеграл

1) Параметризация.
Поверхность в трехмерном пространстве - это двумерная хрень. То есть нужно две величины, чтобы задать точку на поверхности. Давайте в качестве этих двух величин возьмем u и v. Зададим простую параметризацию:
x = 12 - 6 u - 2 v
y = u
z = v
Теперь, если такие x, y, z подставить в уравнение поверхности, получится верное равенство для любых u, v. Значит для любых u, v точка (x, y, z), коордианты которой заданы формулками выше, будет лежать на нашей поверхности. Все, параметризовали.
2) Область.
Первый октант: x > 0, y > 0, z > 0. Для нас это означает систему неравенств:
u > 0
v > 0
12 - 6 u - 2 v > 0
Чтобы пробежаться по всем точкам этой обалсти, можно пробежаться по значениям u и v таким образом:
0 < u < 2
0 < v < 6 - 3 u
В этих пределах и будем интегрировать.Можно для удобства обосзвать это областью D.
3) Элементарная площадь.
Радиус-вектор:
R = x i + y j + z k = (12 - 6 u - 2 v) i + u j + v k
при конкретных значениях u и v указывает в какую-то точку поверхности. Если изменить значение u на величину du, то и радус-вектор изменится на:
dRu = {(∂x/∂u) i + (∂y/∂u) j + (∂z/∂u) k} du = - 6 i + j
Если изменить значение v на величину dv, то R изменится на:
dRv = {(∂x/∂v) i + (∂y/∂v) j + (∂z/∂v) k} dv = - 2 i + k
Нам нужна площадь параллелограмчика, построенного на векторах dRu и dRv. Значит надо посчитать векторное произведение:
[dRu, dRv] = [(j - 6 i), (k - 2 i)] du dv = ([j, k] - 2 [j, i] - 6 [i, k] + 12 [i, i]) du dv =
= (i + 6 j + 2 k) du dv
И элемент поверхности (элементарная площадь) - просто модуль этого вектора:
ds = √(41) du dv
4) Интеграл.
Осталось записать интеграл и взять его. Формально его можно записать так:
S = ∫ ds, (по области D, которую мы задали для значений u, v)
Или более предметно, если подставить ds и расшифровать "по области D":
S = ∫ du ∫ dv √(41)
пределы интегрирования:
0 < u < 2
0 < v < 6 - 3 u
Хотя бы это доделаете сами. Удачи)

Уравнение данной наклонной плоскости в отрезках: x/12+y/2+z/6=1.
Площадь проекции фигуры на пл. ХОУ равна 2*12/2=12.
Эта площадь равна искомой площади фигуры, умноженной на косинус угла между нормалью к наклонной плоскости и осью OZ. Косинус этого угла равен А=6/√41. Искомая площадь равна 12/А=2√41

Ответ: 2√41.

Можно так

46

Бл#ть я только обычный интеграл выучил и это предел моих возможностей, а ведь еще и такие бывают!