Матричные уравнения. Алгебра

Если честно расписать всё по элементам, то получается, что Х=О - нулевая матрица.

матричный бог решает все

Да, есть тупой способ и умный способ. Тебе какой?

Начну со второго уравнения.
Тупой способ - расписать все это через элементы матриц и решить задание в лоб.
Более умный способ - найти размерность общего решения (в твоем случае оно легко находится через комплексный спектр матрицы A) и отсюда сразу получить общее решение, сразу видно, что в твоем случае оно имеет вид c1*E + c2*A, где c1 и с2 - произвольные комплексные скаляры. .
Когда у тебя характеристический многочлен матрицы A не имеет кратных корней, задача поиска всех матриц, перестановочных с A, решается очень легко.

Первое задание - это обычное линейное неоднородное уравнение относительно матрицы B (коммутатор [A, B] = AB - BA линеен по A и линеен по B), ищешь общее решение однородного уравнения аналогично второй задаче, прибавляешь частное решение неоднородного (если найдется) и готово.

Короче, вопрос ребром: ты какие-нибудь свойства перестановочных матриц знаешь? Например, что они действуют инвариантно на собственных (и не только - на корневых тоже) подпространствах друг друга. Если не знаешь, решай в лоб, если знаешь, то можно решить красиво,

Задание 2,
Пусть AX = XA, x принадлежит ker A, тогда 0 = X(Ax) = A(Xa) => Xa принадлежт ker A
=> X*kerA - подпространство ker A.
AX = XA => для всякого лямбда
X(A - лямбдаE) = (A - лямбдаE)X => X*(ker(A - лямбдаE)) - подпространство ker(A - лямбдаE), т.е. X действует инвариантно на собственных подпространствах A (*).

Диагонализируем A над полем C (у нашей матрицы A характеристичкий многочлен не имеет кратных корней), поэтому из (*) следует, что при переходе к новому базису матрица X диагональна => решением уравнения XA - AX = 0 - ялвяется двумерное линейное пространство => общее решение нашего уравнения AX - XA = 0 - это линейная оболочка матриц A и E.

Задание 1)
Аналогично, общим решение однородного уравнения яляется линейная оболочка A и E, а частное решение неоднородного найдем вот так, разложив заданный нам коммутатор в правой части нашего уравнения в линейную комбинацию двух таких коммутаторов в левой части скриншота: