Задача по теории вероятности

Расчеты советую еще раз проверить

Для решения первой задачи используем нормальное распределение.
Вероятность того, что прибор выйдет из строя, равна 0,025. Следовательно, вероятность того, что прибор не выйдет из строя, равна 0,975.
Мы хотим найти вероятность того, что процент вышедших из строя приборов будет отличаться не более чем на 2% от заданного уровня 2,5%. Это означает, что мы ищем вероятность того, что выборочная доля вышедших из строя приборов будет лежать в интервале [0,025 - 0,02; 0,025 + 0,02] = [0,005;0,045].
Среднее значение для выборки равно 117*0,025=2.925, а стандартное отклонение равно sqrt(117*0,025*0,975)=1.849.
Используя таблицы нормального распределения, находим вероятность того, что выборочная доля вышедших из строя приборов окажется в заданном интервале:
P(|X-2.925|/1.849<=0.02) = P(-0.033<=Z<=0.033) = 0.9974 - 0.0026 = 0.9948

Первая задача:
Пусть p - вероятность выхода из строя одного прибора, тогда q=1-p - вероятность того, что прибор не выйдет из строя.
Согласно закону больших чисел, количество приборов, которые выйдут из строя при испытании 117 приборов, будет близко к 117*p, а количество приборов, которые не выйдут из строя, будет близко к 117*q.

Требуется найти вероятность того, что отношение числа приборов, вышедших из строя, к общему числу приборов будет отличаться от 2,5% не более, чем на 2%.
Первым шагом найдем процент вышедших из строя приборов:
117*p / 117 = p
То есть, среди 117 приборов ожидается, что будет выведено из строя 2,925 прибора.
Требуется, чтобы процент отличался не более, чем на 2%. Значит, процент необходимо лежит в интервале [0,025*(1-2%)=0,0245; 0,025*(1+2%)=0,0255]
Чтобы найти вероятность данного события, воспользуемся нормальным распределением (так как выборочная доля - это сумма независимых случайных величин, распределенных по закону Бернулли):
P(|X/n-p|<=0,005) = P(|(X-n*p)/sqrt(n*p*q)|<=0,4), где X - количество выведенных из строя приборов.
По таблицам нормального распределения найдем вероятность того, что стандартизованная случайная величина меньше или равна 0,4 и больше или равна -0,4:
P(-0,4 <= Z <= 0,4) = F(0,4) - F(-0,4) = 2*F(0,4) - 1,
где F(0,4) - значение функции распределения стандартного нормального закона при x=0,4
F(-0,4) - значение функции распределения стандартного нормального закона при x=-0,4
(можно использовать таблицы нормального распределения или калькулятор с функцией invNorm)

P(-0,4 <= Z <= 0,4) = 2*0,3446 - 1 = 0,6892

Ответ: вероятность того, что процент вышедших из строя приборов будет отличаться от 2,5% не более, чем на 2% при испытании 117 приборов, равна 0,6892.


Вторая задача:
Требуется найти количество приборов, которое необходимо проверить, чтобы с вероятностью 0,96 доля приборов, не вышедших из строя, отличалась от 0,975 не более, чем на 0,035.
Доля приборов, не вышедших из строя, равна q=1-p.
Нам нужно найти такое n, чтобы вероятность отклонения доли приборов от 0,975 не превышала 0,035 с вероятностью 0,96.
Запишем неравенство Чебышева:
P(|X/n-q|<=0,035) >= 1- (D(X)/n*0,035^2)
где X - количество приборов, не вышедших из строя,
D(X) - дисперсия выборки,
из неравенства Чебышева можно выразить требуемое значение n.
Нам известна требуемая доля, значит, q=0,975, а p=0,025.
Требуется оценить дисперсию D(X).

Для распределения Бернулли дисперсия вычисляется как D(X)=npq, значит D(X) = np(1-p) = n*0,025*0,975.
Подставим эти значения в неравенство Чебышева и получим:
0,96 >= 1-(n*0,025*0,975/(n*0,035^2))
0,96 >= 1 - 0,708* n^(-1)
0,292 <= 0,708* n^(-1)
n >= 6,66*10^6
Ответ: чтобы с вероятностью 0,96 доля приборов, не вышедших из строя, отличалась от 0,975 не более, чем на 0,035, необходимо проверить как минимум 6 660 000 приборов.