Задача на теорию вероятности

Для решения этой задачи предположим, что время между деталями подчиняется равномерному распределению. Это значит, что вероятность нахождения готовой детали в любой момент времени на интервале от 0 до 7 минут одинакова.

Найдем вероятность, что контролер будет ждать готовую деталь менее 30 секунд.
30 секунд равны 0.5 минут. Таким образом, вероятность P(X < 0.5) будет равна:

P(X < 0.5) = (0.5 - 0) / (7 - 0) = 0.5 / 7 ≈ 0.0714 или 7.14%

Найдем математическое ожидание (среднее значение) времени ожидания.
В случае равномерного распределения математическое ожидание M(X) равно:

M(X) = (a + b) / 2

где a и b - границы интервала времени. В данном случае, a = 0 и b = 7:

M(X) = (0 + 7) / 2 = 7 / 2 = 3.5 минут

Найдем дисперсию времени ожидания.
Для равномерного распределения дисперсия D(X) равна:

D(X) = (b - a)^2 / 12

где a и b - границы интервала времени. В данном случае, a = 0 и b = 7:

D(X) = (7 - 0)^2 / 12 = 49 / 12 ≈ 4.0833

Найдем среднее квадратическое отклонение времени ожидания.
Среднее квадратическое отклонение σ равно квадратному корню из дисперсии:

σ = √D(X) = √4.0833 ≈ 2.02 минут

Таким образом, вероятность того, что контролер будет ждать готовую деталь менее 30 секунд, составляет примерно 7.14%. Математическое ожидание времени ожидания равно 3.5 минут, дисперсия составляет примерно 4.0833, а среднее квадратическое отклонение - примерно 2.02 минут.

Для решения этой задачи нужно использовать распределение Пуассона, так как мы ищем вероятность того, что событие произойдет за фиксированное время, а интервалы между событиями имеют экспоненциальное распределение.

Параметр λ для распределения Пуассона равен 7 (количество событий в единицу времени). Так как мы ищем вероятность ожидания менее 30 секунд (или 0,5 минуты), нужно найти вероятность того, что за это время произойдет не более 1 события.

P(X <= 1) = e^(-λ) * (λ^0 + λ^1 / 1!) = e^(-7) * (1 + 7 / 1!) ≈ 0.00157

Математическое ожидание времени ожидания можно найти как E(X) = 1/λ = 1/7 минут = 8.57 секунд.

Дисперсия времени ожидания вычисляется как D(X) = 1/λ^2 = 1/49 минут^2 ≈ 0.00292 секунд^2.

Среднее квадратическое отклонение времени ожидания равно корню из дисперсии: σ(X) = sqrt(D(X)) ≈ 0.054 секунды.