Дифференциальные и интегральные уравнения

1) Записываете уравнение на функцию Грина G(x, s):
x Gxx + Gx + (1/x) G = δ(x - s),
При x < s и при x > s дельта функция справа равна нулю, получается просто однородное уравнение:
x Gxx + Gx + (1/x) G = 0,
Записываете общее решение при x < s и при x > s:
G(x,s) = A / x + B x, (x < s),
G(x,s) = C / x + D x, (x > s).
Далее 4 условия на константы A, B, C, D.
Сшивка в точке x = s:
G(s+0, s) - G(s-0, s) = 0,
Gx(s+0, s) - Gx(s-0, s) = 1 / s,
и граничные условия:
|G(0, s)| < ∞,
G(1, s) = 1.
Ну и все, из этой системы условий находите константы, и функция Грина готова.
2) Тоже записываете уравнение на ф. Грина:
x Gxx - Gx = δ(x - s),
При x ≠ s:
x Gxx - Gx = 0,
общее решение:
G(x,s) = A x² + B, (x < s),
G(x,s) = C x² + D, (x > s).
4 условия на константы A, B, C, D.
Сшивка:
G(x+0,s) - G(s-0,s) = 0,
Gx(s+0,s) - Gx(s-0,s) = 1/s,
границы:
Gx(1,s) = 0,
G(2,s) = 0.
А дальше сразу для любой краевой задачи вида:
x y'' - y' = f(x), y'(1) = 0, y(2) = 0, 1 < x < 2;
сможете записать готовое решение:
y(x) = ∫ G(x, s) f(s) ds, (1 < s < 2).
Интегральчик возьмете и все.
3) Записываете уравнение на хар-е числа и собственные функции:
y(x) = λ ∫ K(x, t) y(t) dt, (0 < t < 1),
Берете от этого равенства две производные по x, получаете уравнение на собственные функции:
y''(x) = λ y(x),
и доп. условия:
y(0) = λ ∫ K(0, t) y(t) dt,
y(1) = λ ∫ K(1, t) y(t) dt.
или:
y'(1) = 0...
разные можно навыводить.
Те λ для, которых задача будет иметь решение - хар-е числа, а сами решения - собственные функции.

Поздравляю, ты слил сколько то рублей оставшись без решения.

Математика не пригождается в жизни, я тебе скажу. Дождь в Испании пойдет поле ровное польет.