Каким образом зарубежные отели/при бронировании через booking.com/ определяют наличие средств на банковской карте?

Блокируют определённую сумму на карте, указанной при бронировании.
Я с этим нечасто, но сталкивался. Это выглядит как списание средств. Причем я, поначалу, возмущался: "Указано, что оплата на месте и не производится никаких списаний" Мне и объяснили, что это - не списание. а блокировка. Обычно блокируют сумму за 1 сутки проживания.
Разблокируют после того, как вы оплатите проживание в отеле. Но деньги "вернутся" (станут вновь доступными) не сразу. а недели через две (это уже - банковская заморочка, ни от отеля, ни от букинга не зависящая)

"Дальние гребеня" здесь ни причём. Я сталкивался с этим неоднократно: в Финляндии, в Париже, в Греции, в Португалии. В России не сталкивался.
И закономерности тут нет: кто заблокирует, кто не заблокирует. 4* отель может не заблокировать, а задрипаный хостел - заблокировать.

Поэтому. при бронировании старайтесь, чтобы на карте, которую вы указали, были деньги (хотя бы на одну ночь проживания). Если блокировка не пройдёт (недостаточно денег) отель вправе аннулировать бронирование, в одностороннем порядке (уведомив вас) т. к. сочтет вас неблагонадёжным клиентом (также и при check out можете сунуть карту, на которой денег нет)

Никак не проверяют.
Им в любом случае ваш банк оплатит, а потом с вас вытрясать будет, если средств недостаточно.

У вас могут либо сразу же при бронировании, либо через 1- 2 недели ( к примеру), тупо заблокировать определенную сумму со счета (например, за сутки проживания). Не часто, но раз в 10-12 броней такое бывает. И потом, либо разблокировать сразу же, либо через некоторое время. Полагаю, что если даже этой суммы на вашем счете не окажется, то отель с вами дальнейших дел иметь не захочет.

А в чём смысл проверять, если забронировать номер можно за год?

Вы даете номер карты и код, банк с которым работает отель запросто проверит вашу карточку через ваш банк.

Никак. Не проверяют. Бессмысленно отелю проверять ваши средства - сегодня они у вас есть на карте, завтра нет, послезавтра опять есть.

В подавляющем большинстве случаев - заморочка с картой - подтверждение серьезности ваших намерений плюс "средство от склероза", чтобы постояльцы, если передумали, то не забывали сообщить об этом отелю.

Отель не особо с этим заморачивается - поскольку, формально, услуга не оказана и деньги не потеряны.

ЗЫ: Рассказывают что где-то в дальних гребенях есть дикость с заморозкой, но за 10 лет регулярных поездок в Скандинавию, только раз, краем уха, слышал о таком случае в стокгольмском Редиссоне.

путём авторизации карты. а потом происходит отмена авторизации (т. е. средства размораживаются).