Могут ли не выплатить заработную плату почти за 1,5 месяца при увольнении по ст. 81 п.7 ТК РФ?

Интересно. Первый раз читаю о реальном примере увольнения "за утрату доверия". Насчет правомочности увольнения вопрос спорный и требует консультации у грамотного юриста знакомого с судебной практикой по аналогичным случаям. Будучи кассиром вы попадаете в категорию лиц, которых имеют право уволить по данной статье. Но опять же - надо смотреть судебную практику. В принципе возможно что не имея доказательств злого умысла в ваших действия суд будет на вашей стороне. Но суд дело сложное и дорого я бы на вашем месте восстановиться не пытался. Опять таки - вы кассир прямо попадаете по "доверенных" лиц. Шансов маловато.. .
А что касается расчета - тут все на вашей стороне. В независимости от оснований увольнения расчет должен быть произведен полностью в день увольнения, выдан расчетный лист. Если буду говорить что то о штрафах - то опять же - требуйте расчетный лист где сумма этого штрафа указанна, требуйте обоснования этого штрафа, соотв локальный нормативный акт ( с которым вы должны был быть ознакомлены еще при приеме на работу) . Нет вообще такого наказания в ТК РФ как штраф. Тут вы смело можете выиграть дело.

По какой бы статье вас не уволили, зарплата должна выдаваться в полном размере. Вы за нее работали. Максимум, могут в трудовую статью вписать, но это чревато последствиями. Чтобы вписать, скажем статью "Воровство", нужно сначала завести уголовное дело и доказать вину работника через суд.