Не отпускают в отпуск, по графику. Срочно необходимо выполнить работу. Что делать?

В виду отсутствия реальной правовой защиты работников, у Вас не остаётся выбора. По теории, работодатель неправ, но увы, Всё Трудовое законодательство РФ на практике работает только против Вас, за исключением ситуации, когда Вы меняете рабочее место или у вас отпуск по беременности.

Раз проблема в решении конкретной рабочей задачи, то и начальство интересует не именно Ваш отдых, а кто сделает работу. Предложите ответ на этот вопрос - и Вас с радостью отпустят.
Всегда можно закрыть дела до отпуска, доделать часть работы из отпуска, договориться с клиентами (чтобы не подставлять руководство) о переносе сроков, либо попросить кого-то из коллег взять вопрос на себя. Если идти к руководству не с ультиматумом, что Вы поедете отдыхать и всё тут, а с идеей, как, когда и кем будет выполнено задание, то и вопрос о Вашем отпуске будет рассмотрен совсем иначе.

Выполнять работу и идти в отпуск.

2 варианта:
1. Согласиться на работу и потом в отпуск.. .
2. настоять на отпуске.. .
Первый выгоднее.. . и с начальством лучше отношения будут, и дополнительный заработок, и отпуск с продлением...

График отпусков обязателен как для работодателя, так и для работника. Не предоставили отпуск по графику - жалуйтесь в трудовую инспекцию, но будьте готовы к тому, что после этого отношения с работодателем будут испорчены. Выбирать вам.