Почему работодатели просят работников писать заявления об увольнении по собственному желанию, ссылаясь на косяки

Потому что это не нужно ни работнику ни работодателю. Увольнение нетрудно обжаловать в суде. Ну а запись в трудовой книжке о "недобровольном уходе" - черная метка для работника.

Потому, что для того, чтобы уволить "за косяки" надо целый пакет макулатуры "нарисовать", чтобы рабтник потом в суде такое увольнение не оспорил.
Да и работнику по собственному желанию лучше уволиться, чем за "косяки". Увольнение за несоответствие занимаемой должности или вследствие недостаточной квалификации трудовую книжку не украсит. Кому потом такой работник нужен будет? Или трудовую выбрасывать и новыую заводить?

Потому что иначе, будут суды и прочий геморой

Это НАИЛЧШИЙ ВАРИАНТ поскольку статья об увольнении не очень разукрасит вшу трудовую.

Просто работодатель стольких геморойных ситуаций избегает, если вы напишете по собственному! Косяки еще нужно доказать, комиссию создать, потом на основании проверки составить акт о профнепригодности или о нарушениях (вполне вероятно что таковых и в помине не было) . Потом работник должен как бы подписать акт о том что он - хреновый работник. А так - написал по собственному и живи счастливо, работодатель! Потом уже ничего не докажешь, ведь сам написал заявление!

ему нужны хорошие сотрудники

Другой вариант увольнения - по статье. (но это создает всем ненужные проблемы)

увольнение по статье указывается в трудовой, если начальник нормальный, но был конфликт с сотрудником, то идут оба на мировую. начальник убирает не нужного сотрудника без подлянок, грубо говоря. . Так же по статье, зависит от того, какая статья, могут начаться разбирательства. . По статье увольняют при серьезных нарушениях.