человек проработал без трудового договора 3 месяца, написал в трудовую инспекцию что не оплатили ему, что будет ?

Нет договора, нет подтверждения вашим словам - все просто

абсолютно ничего

Ничего не будет. Документы на руках есть, подтверждающие работу в организации? Нет. Вот и сказочке конец.

закончились его трудовые отношения ...

Трудовая инспекция - проверяет правильность выполнения официальных обязательств "работодатель-сотрудник" по ТК РФ и только.
Нет трудового договора - нет и обязательств.

НО.
Возможно и нюансы.
Вариант первый - вы говорите, да, это наш сотрудник, ну просто "забыли" оформить договор. В этом случае - грозит штраф на ваших должностных лиц, не маленький и пристальное внимание, повышение внеплановых проверок к вашей фирме со стороны ТИ в дальнейшем.

Вариант второй - вы говорите, нет, это не наш сотрудник.
И если работник пойдет в суд и докажет, что он у вас работал (свидетельские показания, перевод зарплаты на его карту из вашей организации как факт, копии документов, с которыми он работал, фото - видео доказательства с его телефона и тп), то последствия более плачевные для вас.
По поводу свидетельских показаний имейте ввиду, что его коллеги, скорее всего их дадут, тк они могут привлекаться уголовно за ложные показания и им об этом скажут на суде.

Также сейчас масса контор платно помогает писать работникам заявления в ТИ и Суды. И стоит, кстати, это недорого.

А почему не удалось договориться с ним по соглашению сторон?