Как составить уравнение касательных к окружности в общем виде

Question

Если окружность задана уравнением x^2+y^2=r^2.А касательные проведены из внешней точки М(х0;y0)

Ольга Фёдорова · Accepted Answer

Можно гараздо проще ))) 
 
1. Написать уравнение окружности с центром в точке, являющейся серединой отрезка соединяющего начало координат и точку М. При этом радиус окружности равен половине этого отрезка. 
2. Точки пересечения этой окружности и заданной являются точками касания искомых касательных. Дальше все просто.

Сергей Синьков · Answer

Очевидно, можно провести только две касательные из точки (вне окружности) к окружности. 
Касательные - прямые линии, проходящие через точку касания P(Px; Py) и имеющие вид: y = Py + y'(Px)*(x - Px). 
 
Уравнение окружности можно считать как неявно заданную функцию, F(x, y) = x^2 + y^2 - r^2 = 0 (ф. 1). По теореме о производной неявной функции известно, что y'(x) = -Fx/Fy, где Fx и Fy - соответственно частные производные F по x и y. Тогда уравнение касательной (ых) будет иметь вид: 
Fx*(x-Px) + Fy*(y-Py) = 0 (ф. 2). 
 
Найдём частные производные: 
 
Fx = 2Px, Fy = 2Py, и тогда 
Px*(x-Px) + Py*(y-Py) = 0 (ф. 3) , 
Px*x - Px^2 + Py*y - Py^2 = 0, но Px^2 + Py^2 = r^2, то есть 
 
Px*x + Py*y - r^2 = 0 или с учётом ф. 1 
 
Px*x ± sqrt(r^2 - Px^2)*y - r^2 = 0 (ф. 4) 
 
Учитываем также что касательные проходят через точку M, то есть 
Px*x0 ± sqrt(r^2 - Px^2)*y0 - r^2 = 0 (ф. 5) 
Остаётся только решить уравнение ф. 5. Для этого возводим ф. 5 в квадрат (при это корень переносим вправо, всё остальное оставляем слева) и получаем квадратное уравнение относительно Px. Далее, решаем это уравнение и получаем (рутина произведена в Maple): 
Px1 = r*(y0*sqrt(-x0^2*(-y0^2+r^2-x0^2))+r*x0^2)/((y0^2+x0^2)*x0) 
Px2 = - r*(y0*sqrt(-x0^2*(-y0^2+r^2-x0^2))-r*x0^2)/((y0^2+x0^2)*x0) 
 
Далее Px1 и Px2 подставляем в ф. 4 и получаем уравнение касательных. С учётом двух корней и знаков корня в ф. 4 получается 4 прямых, но только две из них являются касательными (надо правильно угадать знак) .