Нужна ли генеральная доверенность бабушке на перевоз ребенка по России только с пересечением Казахстана?

Хм, на счет генеральной доверенности не знаю
Но при пересечении границы РФ необходимо обязательно иметь нотариально оформленное согласие родителя (усыновителя, опекуна, попечителя) на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить (ст. 20 Федерального закона от 15.08.1996 N 114-ФЗ).