как найти квадратный корень из десятичного числа?

ну, нас когда-то учили извлекать корень столбиком - но это противно.

самый простой способ - метод Ньютона или касательных.

берем любое приближение (чем ближе оно будет - тем быстрее получим ответ, но можно - вообще любое) и рекурсивно считаем

x = ( x + A/x ) / 2

сходится очень быстро.

например, считаем корень из 144. Берем первое приближение 10:
10
12.2
12.00163934
12.00000011
12 (погрешность уже дальше 17-го знака)

каждая итерация удваивает число точных цифр.

На бумажке можно.
Вас, деток компьютерного века, таким техникам не учат. Да и учителя, боюсь, их не знают.
Смотри за руками.
Вычислить √185761
Разбиваем на грани по две цифры, начиная справа: 18'57'61
Для 18 вспоминаем ближайший квадрат, это будет 16=4²
Пишем √18'57'61=4....
Из 18 вычитаем 16, остаётся 2. Сносим к дойке следующую грань и работаем с 257
В стороночке пишем удвоенную четвёрку, полученную на первом шаге, считаем её числом десятков. Подбираем такое число единиц, чтобы при умножении 8х на х получилось число, максимально близкое к 257 снизу:
83*3=249
Пишем √185761=43...
Из 257 вычитаем 249, к получившийся восьмёрке сносим последнюю грань: 861
Удваиваем то, что уже слева от радикала: 43*2=86, и очевидно, что надо приписать единицу, чтобы в итоге закончить вычисления:
√185761=431

Если нет калькултора и таблицы квадратов, то методом подбора.

А есть еще способ извлекать квадратный корень с любой точностью без калькулятора, на бумаге. Что-то наподобие деления в Столбик.

Методом половиного деления. Взяли число и в квадарат. Если меньше то увеличте в даое. и в квадат. Если больше то к первому число добавте разницу между предыдущем и в квадрать и так ппока резулультат не совпадёт. Вот Вам и число квадратный корень полученый методом приближения.

Да, в старые времена это мы делали вручную, было два способа. Вот один. Нужно найти корень от 3,14. Корень между 1,7 и 1.8. 3,14 делим на 1,75 - КРАТКИМ способом деления (это тоже мы изучали) . Получаем 1,79. 3,14 делим на (1,75+ 1,79)/2= 1,77. Получаем 1,77. Ответ верен до всех значащих цифр. Но всё это, конечно, зря. Как пишет С. Гаврилов, есть калькулятор.