как правильно уволить сотрудника

Отправлять нужно было письмо с уведомлением. Дата получения на уведомлении - следующий день = дата начала предупреждения.

В соответствии с частью первой ст. 80 Трудового кодекса РФ (далее - ТК РФ) работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен ТК РФ или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
Обратиться к работодателю с заявлением о расторжении трудового договора работник имеет право в любое время, в том числе в период нахождения в ежегодном отпуске. Работодатель, получив от работника заявление об увольнении, обязан расторгнуть трудовой договор с ним по истечении двух недель либо может это сделать в срок, указанный в заявлении, независимо от того, что день увольнения приходится на период отпуска.

факт отправки письма не является отправной точкой - плюс не определён срок доставки - по идее нужно дождаться окончания отпуска ( чтобы его не оплачивать или не перерасчитывать по отпускным), а после этого считать 2 недели, положенные на отработку или увольнять с этого числа, если есть договорнность

Но две недели отработки можно посчитать отпуск.

Сказать: "Вы уволены" и кинуть документы

Датой увольнения считается последний рабочий день. И по закону вы имеете право оставить работника отрабатывать две недели.