Сложная задача по математике. 80 баллов

Дело всё в том, что и при бОльших n всё получится.

Ответ. Для любого n.

1. Докажем, что для любого eps > 0 найдется угол а, что sin a и соs a – рациональные числа и sin a < eps. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами
BC=x=(2k+1)/2, AC=y= k^2+k, AB=z=(2k^2+2k+1)/2, k – натуральное.
x^2+y^2=(4k^2+4k+1+4k^4+8k^3+4k^2)/4=z^2
(Эти значения получены из пифагоровых троек
x=(t^2-p^2)/2, y=pt, z=(p^2+t^2)/2 подстановкой p=k, t=k+1)

sin a = x/z=((k+1)^2-k^2)/ ((k+1)^2+k^2)=(2k+1)/(2k^2+2k+1) < eps.

Т. к. парабола y=k^2*eps +2k ( eps -1)+eps -1 направлена ветвями вверх, то найдутся натуральные решения неравенства y > 0, т. е. (2k+1)/(2k^2+2k+1) < eps ( или на языке пределов, т. к. предел при k, стремящемся к бесконечности, (2k+1)/(2k^2+2k+1) стремится к 0).

При этом sin a =(2k+1)/(2k^2+2k+1), cos a = 2(k^2+k)/ ((2k^2+2k+1)) – рациональные.

2. Если sin a и cos a – рациональные, то sin ma и cos ma – тоже рациональные. При этом, если sin a= q1/s и cos a=q2/s (q1,q2,s – натуральные) , то s^(2m)*sin a и s^(2m)*cos a – натуральные.
По индукции. При m=1 – верно. Пусть sin ma и cos ma – рациональные, s^m*sin ma и s^m*cos ma – натуральные.
Тогда
sin (m+1)a=sin ma*cos a+cos ma*sin a – рациональное,
s^(m+1)*sin (m+1)a – натуральное.
Аналогично косинус.

3. Построение.
Берем произвольное n и угол a, такой что sin a < sin (180 градусов/n),
sin a = q1/s и cos a=q2/s (q1,q2,s – натуральные) .

Делим окружность радиуса R на дуги A1A2=A2A3=…A(n-1)An= 2a.

Стороны. AiA(i+1)=2R*sin a. (1 < i < n-1)
A1An=2R*sin (180 градусов – (n-1) a))=2R*sin a(n-1).
Диагонали имеют вид 2R*sin ka или 2R*sin (180 градусов – ka))=2R*sin ka.
(1 < k < n)
Площадь равна сумме площадей треугольников AiОAi+1 (1 < i < n-1) и A1ОAn.

S (AiОAi+1)=R^2*sin 2a /2,
S(A1ОAn)=R^2*sin (360 градусов - 2a(n-1))/2=- R^2*sin (2a(n-1))/2.

4. Если теперь взять R=s^(2n) (этого уж точно хватит) , то стороны, диагонали и площади треугольников, а значит, и всего многоугольника, будут натуральными.

не грузи....:)

нифига себе!!!