Рациональные и иррациональные числа.

4. Предположим, что это не так и натуральные решения есть.
Возьмём наименьшее t, для которого это выполнено (это такая удобная штука - несуществующий объект, про него можно доказать всё, что угодно. Сейчас мы докажем, что он не наименьший - и это и будет означать, что он не существует, потому что он одновременно и наименьший - мы такой взяли, и не наименьший - мы это докажем. Существующие объекты так не умеют, они не могут одновременно удовлетворять двум противоречащим требованиям).
Отметим, что t в таком случае обязательно чётное число (слева стоит заведомо чётное выражение), t = 2p. Тогда t^4 = 16p^4 и
p^4 = x^4/2 + y^4/4 + z^4/8. Слева - натуральное число, значит, справа тоже.
Четвёртая степень чётного числа даёт при делении на 4 и на 8 остаток 0, четвёртая степень нечётного числа даёт при делении на 4 и на 8 остаток 1. Вот это - самое слабое место, и проще всего его пробить перебором.
Остаток при делении на 4 у нечётного числа может быть либо 1, либо 3. 1^4 = 1, 3^4 = 81 - в обоих случаях остаток от деления на 4 равен 1. С 8 аналогично, но добавляются 5^4 = 625 =78*8 +1, 7^4 = 2401 = 300*8 + 1. Снова остаток 1. Значит, другого остатка при делении четвёртой степени нечётного числа на 4 и 8 вообще не может быть.
Это означает, что если среди x, y, z есть нечётные, то x^4/2 + y^4/4 + z^4/8 не будет целым. У нас дробных частей максимум 1/2 + 1/4 + 1/8 - мы не соберём из них единицу никак. Значит, они все равны 0.

Значит, для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы x, y, z все до одного тоже были чётными.
Но тогда все 4 числа у нас чётные, и мы можем все их сократить на 2 - исходное равенство снова будет выполняться, а t окажется в 2 раза меньше. Это противоречие - оно у нас было наименьшим.
Значит, наше предположение было неверным, и такой четвёрки натуральных чисел нет.

В правильном треугольнике все углы равны по 60 градусов.
Опустив высоту из любой вершины, получим прямоугольный треугольник с острым углом 30 градусов.
Отношение малого катета к большому дает tg(30) = v3/3.
Это число не может быть выражено целым числом (узлов сетки), поэтому правильный треугольник на условиях задачи построить невозможно, хотя можно неограниченно приближаться к этому результату.