Могут ли мне предоставить отпуск за отработанные 5 месяцев?

Исходя из положений ч. 2 ст. 121 ТК РФ время отпуска по уходу за ребенком до достижения им установленного законом возраста в стаж работы, дающей право на оплату проезда к месту использования отпуска и обратно, не включается.
Как следует из положений ст. 325 ТК РФ, компенсация расходов производится при использовании работником ежегодного оплачиваемого отпуска .
В соответствии со ст. 260 ТК РФ перед отпуском по беременности и родам или непосредственно после него либо по окончании отпуска по уходу за ребенком женщине по ее желанию предоставляется ежегодный оплачиваемый отпуск независимо от стажа работы у данного работодателя.
Учитывая изложенное и то, что рабочий год дающий право на отпуск отработан не полностью и при условии, что вы работаете в организации, финансируемой из федерального бюджета, имеете право на оплату проезда к месту отдыха и обратно за предыдущий период, можете им воспользоваться в дальнейшем только при предоставлении очередного оплачиваемого отпуска по графику .
Что касается лиц, работающих у работодателей, не относящихся к бюджетной сфере, то согласно ч. 8 ст. 325 Кодекса (в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ) размер, условия и порядок компенсации расходов на оплату стоимости проезда и провоза багажа к месту использования отпуска и обратно для указанной категории лиц устанавливаются коллективными договорами, локальными нормативными актами, принимаемыми с учетом мнения выборных органов первичных профсоюзных организаций, трудовыми договорами.

Вообще не понятно, что вы хотите.
Единственное могу сказать, если вы не госслужащий, никакой проезд никто оплачивать не обязан.

конечно должен!! ! пинка под зад...