Работник написал заявление на оплачиваемый отпуск на 5 дней....

Право на использование отпуска за первый год работы возникает у работника по истечении шести месяцев его непрерывной работы у данного работодателя. По соглашению сторон оплачиваемый отпуск работнику может быть предоставлен и до истечения шести месяцев. (ст. 122 ТК РФ)
Так, что мало ли, что ваш работник хочет, а решать будет работодатель, может и вообще отказать.

По соглашению между работником и работодателем ежегодный оплачиваемый отпуск может быть разделен на части. При этом хотя бы одна из частей этого отпуска должна быть не менее 14 календарных дней (ст. 125 ТК РФ) .

Т. е. половину отпуска можно делить, как угодно, как договоритесь с работодателем, хоть по 1, хоть по 5 дней.

Вновь принятый сотруднник имеет право нна отппуск после 6 месяцев работы.
Но если руководство не против - то можно и сейчас предоставить.
Одна часть отпуска обязательно должна быть 14 календарных дней. А остальные - хоть по 1 дню! и вовсе необязательно включать выходные!

все нормальные люди так и делают: пишут заявление на 5 дней с понедельника - и на неделю свободны.
вы обязаны оформить 5 дней.

правильно желает, зачем ему тратить дни отпуска, если потом суббота-воскресенье выходной! Право на отпуск наступает после полугода работы, но если начальник дал добро, то хоть после недели работы

это смотря, что у вас в колдоговоре написано, нам так не разрешают, обосновывая тем, что у нас и так+з дня дополнительных к ежегодному оплачиваемому отпуску