Можно ли допустить сотрудника к работе и отправить в отпуск в один день?

зачем на работу выходить-то? и главное, когда вы собираетесь допускать работника к работе если он 31.07 еще в отпуске по уходу находится, а с 01.08 уже в очередной отпуск ушел. ни какая "одна дата" фигурировать в приказах не будет, отпуск по уходу будет по 31.07 включительно, а отпуск очередной начнется с 01.08.

ваш работник прерывает отпуск по уходу за ребенком 01.08, а дальше, что хотите - очередной отпуск или явка на рабочее место 01.08

у сотрудника в Приказе на отпуск по уходу за ребенком стоит дата окончания отпуска (так должно быть) , если сотрудник НЕ хочет работать, а хочет в основной оплачиваемый ежегодный отпуск, то находясь в отпуске по уходу, он пишет заявление с просьбой ему его предоставить СО СЛЕДУЮЩЕГО дня после даты указанной в Приказе о предоставлении отпуска по уходу за ребенком . Никакого заявления "и заявление на выход на работу с 01.09."- писать ему не надо, трудовое законодательство этого не требует.

"он не может пойти в ежегодный отпуск сразу, необходимо сначала выйти на работу и потом уже пойти в ежегодный отпуск" - да неужели? ) еще как может ) право у него никто этого не отнимал пока)

оформляйте отпуск основной и никогда не пишите "С" нигде .
"т. е. в обоих приказах будет фигурировать одна дата. " -один у вас приказ будет на основной оплачиваемый отпуск и одно заявление... что вы придумываете там )