Увольнение заменяемого сотрудника. Вопрос по срочному договору.

Вопрос возникает только в одном, а как уволили того сотрудника? Но по большому счёту это Вас не должно волновать, т. к. это будут проблемы работодателя, в случае востановления работника судом. Он получит 2 работников на одном рабочем месте и ни одного не сможет уволить!!!
Для Вас важно, что работник на время отсутствия которого Вы были приняты действительно уволен и при этом не выходил на работу хоть на один день.
Если он уволился не выходя на работу, то условие о срочности Вашего ТД перестало действовать и он АВТОМАТИЧЕСКИ стал бессрочным, поскольку Вас уже не возможно уволить по этому основанию.
Если он выходил и Вас не уволили, то тоже самое.
Так что Ваш ОК прав полностью, да и переоформление не предусмотрено, т. к. ТД на время работы всегда один, а условия изменяют подписанием соглашений к ТД. Подписание в данном случае соглашения, "масло маслянное", т. к. статья 58 ТК РФ прямо говорит о трансформации ТД.

Да, Ваш договор стал бессрочным, но я бы переоформила.
Сейчас в случае его возвращения (если он действительно уволен), он уже "вновь принятый", а не "временно отсутствовавший" и никаких преимуществ перед Вами не имеет.
Ссылки на ТК - смеетесь? Гугл в помощь.

В случае, когда ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу после истечения срока действия трудового договора
допник не обязателен, но желателен

Статья 58. ТК РФ Срок трудового договора
Трудовые договоры могут заключаться:
1) на неопределенный срок;
2) на определенный срок не более пяти лет (срочный трудовой договор), если иной срок не установлен настоящим Кодексом и иными федеральными законами.
Срочный трудовой договор заключается, когда трудовые отношения не могут быть установлены на неопределенный срок с учетом характера предстоящей работы или условий ее выполнения, а именно в случаях, предусмотренных частью первой статьи 59 настоящего Кодекса. В случаях, предусмотренных частью второй статьи 59 настоящего Кодекса, срочный трудовой договор может заключаться по соглашению сторон трудового договора без учета характера предстоящей работы и условий ее выполнения.
Если в трудовом договоре не оговорен срок его действия, то договор считается заключенным на неопределенный срок.
В случае, когда ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу после истечения срока действия трудового договора, условие о срочном характере трудового договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок.
Трудовой договор, заключенный на определенный срок при отсутствии достаточных к тому оснований, установленных судом, считается заключенным на неопределенный срок.
Запрещается заключение срочных трудовых договоров в целях уклонения от предоставления прав и гарантий, предусмотренных для работников, с которыми заключается трудовой договор на неопределенный срок.